第六节 函数的奇偶性及周期性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有f(－x )＝f(x )，那么函数f(x )是偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f(x )的定义域内任意一个x ，都有f(－x )＝－f(x )，那么函数f(x )是奇函数 关于原点对称 二、周期性 1．周期函数 对于函数y ＝f(x )，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x )，那么就称函数y ＝f(x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x )的最小正周期． 课前检测 1．下列函数为偶函数的是( ) A．y ＝sin x B．y ＝x 3 C．y ＝ex D．y ＝ln x 2＋1 解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3 也为奇函数．指数函数y ＝ex 为非奇非偶函数．令f(x )＝ln x 2＋1，得f(－x )＝ln －x 2＋1＝ln x 2＋1＝f(x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数． 2．已知f(x )＝ax 2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是( ) A．－13 B.13 C.12 D．－12 解析：选B f(x )＝ax 2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， ∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又 f(－x )＝f(x )， ∴b＝0，∴a＋b＝13. 3．已知定义在R 上的奇函数f(x )，满足 f(x ＋4)＝f(x )，则 f(8)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选 B f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)， ∴f(0)＝0，T＝4. ∴f(8)＝f(0)＝0. 4．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析：法一： f(－ x)＝ f(x)对 于 x∈R 恒 成 立 ， ∴|－ x＋ a|＝ |x＋ a|对 于 x∈R 恒 成 立 ， 两 边 平方 整 理 得 ax＝ 0， 对 于 x∈R 恒 成 立 ， 故 a＝ 0. 法二：由 f(－ 1)＝ f(1)， 得 |a－ 1|＝ |a＋ 1|， 故 a＝ 0. 答案：0 5．设函数f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________. 解析：观 察 可 知 ， y＝ x3cos x 为 奇 函 数 ， 且 f(a)＝ a3cos a＋ 1＝ 11， 故 a3cos a＝ 10.则 f(－a)＝ － a3cos a＋ 1＝ － 10＋ 1＝ － 9. 答案：－9 1.奇、偶函数的有关性质： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不...
