2009 等离子体物理暑期讲习班 第一讲：‘带电粒子在TOKAMAK 磁场位形中运动的回顾’ 附录 Tokamak 的磁面坐标系 目录 一. 曲 面 坐 标 的 一 般 数 学 描 述 1．共变基和反变基，变换和反变换的Jacobian，共变和反变的度量张量 2．矢量，及其代数运算（点乘，叉乘）和解析运算（梯度，散度，旋度） 3. 体积元（d3x）和长度元平方（ds2） 二. 环 形 磁 场 中 的 磁 面 坐 标 1. 共变基和反变基，Jacobian，共变和反变的度量张量 2. 矢量，及其解析运算（梯度，散度，旋度） 三. 轴 对 称 环 形 磁 场 中 的 磁 面 坐 标 系 1. 磁场在磁面坐标系中的一般表达式，磁力线方程 2. 磁场表达式(3.4)中两个待定坐标（ψp,ψ）的物理意义 四. 通过MHD 平衡和磁力线为直线的条件，来定出的Tokamak 磁 场 表 达 式 1. MHD 平衡条件下的磁场分量待定函数是可测量量 2. 磁力线在)(ζθ，为直线引入了安全因子)(pq ψ—对()θψν,p的隐性确定 3． Tokamak 磁场在磁面坐标系中的反变与共变表达式 4. 取( )2/ BJpψα=，使Bθ = I(ψp)与磁面ψp内的环向总电流相联系 5． 对Hamada 坐标—一个全磁面坐标系—的简介 五. 磁 场 表 达 式 的 小 集 1 一. 曲面坐标的一般数学描述 1．共变基和反变基，变换和反变换的Jacobian，共变和反变的度量张量 令直角坐标系为（x, y, z），它的单位矢量—基矢为（zyxeeevvv,,），有 .,,zeyeeezxeyxexxxezeyexxezyxzyxzyxx∇=∇==∂∂+∂∂+∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂≡∇=vvvvvvvvvv （1.1） 对任何非直角（曲面）坐标系（），可以采用一般的曲面坐标系的数学表达法。令它们与直角坐标系有变换关系： 321,,ξξξ.3,2,1),,,(==izyxiiξξ （1.2） 则它的单价矢量—即反（逆，抗）变基*（contravariant basis）为（ ），有 321,,eeevvv.3,2,1,=∇=ieiiξv （1.3） 上式中的∇ 就是直角坐标中的梯度算子。一般由反变基来定义二个坐标系间的变换Jacobian .det),,(),,(321333222111321ξξξξξξξξξξξξξξξξ∇×∇⋅∇=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂≡∂∂≡zzzyyyzyxxzyxJji (1.4) z 在过去的书和文献中往往把covariant 译为‘协变’，把contravariant译为‘逆变’或‘抗变’。这里按“英汉数学词典”和“英汉力学词典”译成‘共变’与‘反变’。 z 共...
