探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹数学组孟方明 05 年高考江苏卷试题第19 题如下：如图 1，圆1O 和圆2O 的半径都等于 1，421OO，过动点 P 分别作圆1O 、圆2O 的切线 PM 、 PN( M 、 N 为切点 ) ，使得PNPM2．试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．以21OO的中点为原点，21OO所在直线为 x 轴建立直角坐标系，所得结果为031222xyx( 解答略 ) ．这表明切线长PM 与 PN 的比值是定值2 时动点 P 的轨迹是一个圆．那么，如果切线长PM 与 PN 的比值是一个一般性定值，其轨迹还是一个圆吗？如果PM 与 PN 的和、差、积是一个定值，这时的轨迹又是什么呢？笔者在数学作图软件“几何画板” 的帮助下， 探究得到了以下一系列有趣的结论，现归纳总结如下，供同行参阅．1 商为定值已知圆2221)(:ryaxO，圆2222)(:ryaxO)(ra，过动点 P 分别作圆1O 、圆2O 的切线 PM 、 PN ( M 、 N 为切点 ) ，记0:kPNPM，则当1k时， P 的轨迹是直线0x；当1k时， P 的轨迹是一个圆．( 本文中圆1O 、圆2O 、 PM 、 PN 的含义相同，下略 )分析 ：设),(yxP、)0,(1aO、)0,(2 aO，222221)(ryaxrPOPM，222222)(ryaxrPOPN，则kryaxryaxPNPM222222)(:)(:，平方整理得，0))(1()1(2))(1(2222222rakxkayxk， ①当1k时，①式即0x，轨迹是直线，图 1 O1 O2 当1k时，①式即22222222222)1(4)1(]1)1([kkakrykkax，轨迹是一个圆．2 和为定值若0kPNPM，则(1) 当ak2 时， P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆 ( 或椭圆弧 ) ；(2) 当ak2 时， P 的轨迹是两条外公切线段；(3) 当akra2222， P 的轨迹是焦点在 y 轴上的双曲线弧；(4) 当222rak， P 的轨迹是两条内公切线段；(5) 当222)(2rakraa， P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线弧；(6) 当)(2raak， P 的轨迹是两个点；(7) 当)(2raak，这样的 P 不存在．分析 ：由kPNPM，则kryaxryax222222)()(，∴222222)()(ryaxkryax，平方整理后得2222)(24ryaxkkax，①易知042kax，∴akx42，②同理若由222222)()(ryaxkryax可推出akx42，③②③即akx42，对①式平方，整理为)44(4)4(4222222222rakkykxak（akx42），④(1) 当ak2 时，④式可化为1444)4(4)44(22222222222rakyakrakkx（akx42），它表示焦点在 x 轴上的椭圆 ( 或椭圆弧 ) ，至于是否是一个完整的椭圆，取决于)4(4)44(222222akrakk与22)4(ak的大小(2) 当ak2 时，④式即ay（a...
