1 / 2 数列的综合应用讲题3 例1 （ 10全 国 ）已 知 {}na是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且1212112()aaaa，345aaa34511164()aaa．（Ⅰ）求 {}na的通项公式； （Ⅱ）设21()nnnbaa，求数列 {}nb的前 n 项和nT ．（Ⅰ）解：考察数列12,,,na aa 与数列11111,,,nnaaa．{}na是等比数列，数列11111,,,nnaaa也为等比数列且与{}na有相同的公比．设数列{}na的公比为(0)q q．1212345345112()11164()aaaaaaaaaa，1222352(1)(1)64(1)(1)aqqaaqqqqa，1235264a aa a解得：11,2aq，12nna．（Ⅱ）21111()4( )24nnnnnbaa，412133 4nnnTn．例 2 已知点（ 1，31 ）是函数,0()(aaxfx且1a）的图象上一点，等比数列}{na的前 n项和为cnf)(, 数列}{nb)0(nb的首项为 c ，且前 n 项和nS 满足nS －1nS=nS +1nS（2n）. （Ⅰ）求数列}{na和}{nb的通项公式；（Ⅱ）若数列 {}11nnbb前 n 项和为nT ，问nT >20091000 的最小正整数 n 是多少 ? （Ⅰ）解：113faQ,13xfx．1113afcc ,221afcfc29,323227afcfc . 又数列na成等比数列，22134218123327aaca，所以1c；又公比2113aqa，所以12 1123 33nnna*nN ；1111nnnnnnnnSSSSSSSSQ2n．又0nb,0nS, 11nnSS．则数列nS构成一个首相为1 公差为 1 的等差数列，11 1nSnn ，则2nSn ．21nbn(*nN ) ；（Ⅱ）解：11111()(21)(21)2 2121nnb bnnnn111111[(1)()()]2335212121nnTnnn．2 / 2 由1000212009nnTn可得10009n，所以满足10002009nT的最小正整数为112.例 3 已知数列 {}na是由正数组成的等差数列，nS 是其前 n 项的和，并且3425, 28aa S；（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）求使不等式12111(1)(1)(1)21nnaaa对一切*nN均成立的最大实数．（Ⅰ）解：{}na是由正数组成的等差数列且3425, 28aa S，11,2ad．则21nan．（Ⅱ）解：12111(1)(1)(1)21nnaaa，12111(1)(1)(1)21naaan．设12111(1)(1)(1)( )21naaaf nn，则121111(1)(1)(1)(1)23naaaf nn．121112111(1)(1)(1)1(1)21(1)2(1)23111( )23(21)(23)(1)(1)(1)21nnnaaanaf nnnf nnnnaaan，又2[2(1)](21)(23)nnn，(1)1( )f nf n，即( )f n 在*nN上递增．当1n时，min2 3( )(1)3f nf，2 33．例 4 已知曲线2nCynx：，点(,)(0,0)nnnnnP xyxy是曲线nC 上的点（ n=1,2,⋯） . （Ⅰ）试写出曲线nC 在点nP 处的切线nl的方程，并求出nl 与 y 轴的交点nQ 的坐标；（Ⅱ）若原点(0,0)O到nl 的距离与线段nnP Q 的长度之比取得最大值，试求点nP 的坐标 (,nnxy )．（Ⅰ）解：2ynx ，2nknx ．切线nl 的方程：2()nnnyynxxx，令0x可得：222nnynxynx ，则2(0,)nnQnx．（Ⅱ）解：切线方程可写为：2220nnnnxynxy，则222|2|41nnnynxdn x．22222||(2)14nnnnnnP Qxnxxn x，22111||1444nnnnnnnxdP Qn xnxnx当且仅当14nnnxnx，即12nxn时，式中等号成立．此时214nnynxn．点nP 的坐标为11(,)24nn．
