空间向量的共线和共面问题VIP免费

2.1.3共线向量与共面向量类比平面向量得空间向量:一、共线向量：1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.复习回顾:1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作//ab．规定:o与任一向量a是共线向量.2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使ab.练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外一点，且，求的值.�OPOAOB解: ABP、、三点共线,∴tR,使OPOAtAB�∴(1)OPtOAtOB� 、、ABP三点共线,且�OPOAOB又O为直线AB外一点,故OAOB�、不共线∴由平面向量基本定理可知1t,t∴1反过来,如果已知�OPOAOB,且1,那么ABP、、三点共线吗?思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPaB⑴ //APa�,∴存在唯一实数tR,使APt�a.∴点P在直线l上存在唯一实数,tR使APt�a①⑵对于任意一点O,有APOPOA�，则点P在直线l上存在唯一实数,tR使OPOAt�a②⑶点B在直线l上,且ABa�，则点P在直线l上存在唯一实数,tR使OPOAt�AB�③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O注:我们把非零向量a叫做直线l的方向向量.平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使12ee�，a12，1122aee��abBPCA思考1：空间任意向量与两个不共线的向量共面时，它们之间存在怎样的关系呢？p�ab，ab二.共面向量:1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p�与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb�.AabBCPp�abBCp�PAO思考2：有平面ABC，若P点在此面内，须满足什么条件？结论:空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有�APxAByAC(1)�OPxOAyOBzOCxyz可证明或判断四点共面三.类似地,有空间向量基本定理:cabpAO然后证唯一性//,//,//ABbBDaBCc作pOBBAOCODOE�DCBxaybzc证明思路：先证存在性E如果三个向量abc、、不共面,那么对于空间任一向量p�,存在唯一的有序实数组,,xyz使pxaybzc�.对向量p�进行分解,注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.如：,,abc推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对x、y、z使OPxOAyOBzOC�OABCP例1在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：向量与、共面.理论迁移EFuuurBCuuurADuuurABCDEF例2已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，，求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）平面AC//平面EG．OEkOA�OFkOB�OGkOC�OHkOD�OABCDEFGH例３：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3�OBOMOPOA＋－(2)4�OPOAOBOM注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB�（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz�其中，例４平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MN解:ABCDA1B1D1C1MN连AN,则MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=AD－ND=（2b+c)13=（－a+b+c)13∴MN=MA+AN例４平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则MN=().OABCMN(A)a－b+c1223...