高中数学一一函数的周期性高中数学一一函数的周期性一、知识回忆1周期函数：对于函数 y =fr),如果存在一个非 ■零常数£使得当 r 取定义域内的任何值时,都 有 f r+T) =f(r),那么就称函数 y =fr)为周期函 数,称T 为这个函数的周期.2 最小正周期：如果在周期函数 f r)的所有周期 中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫 做 f(r )的最小正周期.3 .关于函数周期性常用的结论f (x+2a)=f [(x+ a)+a]=—f (x+ a)=f (x)'周期 10 )；(2)假设满足 f (x+ 0 尸, f (x)」=f (x),所以 2a 是函数的一个周期(a , 0卜 f (x + a)J(3)假设函数满足川+ a)=-( x 十 a )数的一个周期(“ / 0).(4)如果 y=f(x)是 R 上的周期函数,且一个周期为 T,那么",士江)=〃x)(“ e乃•(5)函数图像关于 x=a,x=6轴对称 n 7 二 3b)«(1)假设满足f (x+ a )=一 f (x),那么所以 2〃是函数的一个 a\^,那么…a 尸 f [(x+ a)+a]=1,同理可得 2〃是函 aC/Lf (x)(6)函数图像关于 Q,.)[,°)中央对称 n T:2(〞b) •(7)函数图像关于 x:“轴对称,关于前)中央对称 n T 二 4(a 一 b) •二、方法规律技巧1 .求函数周期的方法求一般函数周期常用递推 法和换元法,形如 y=Asin(sx+v),用公式 T =篇计算.递推法：假设 f(x+a)=—f(x),那么 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=—f(x+a)=f(x),所以周期 T=2a.换元法：假设 f(x+a)=f(x—a),令 x—a=t, x=t+a,那么 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a.2 .判断函数的周期只需证实 fx+T) =f(x)(T 知) 便可证实函数是周期函数,且周期为 T,函数的 周期性常与函数的其他性质综合命题.3 .根据函数的周期性,可以由函数局部的性质 得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注 意结论：假设 T 是函数的周期,那么 kT(kez 且存 0) 也是函数的周期.4 .关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问 题转化为区间上的问题,表达了转化思想.三、例题讲解：上设定义在 R上的函数/G)满足 f G).f G+2)=2021, 假设 f (1)= 2,那么 f(99)=,2、f (x)是 R 上的奇函数,对 x£R 都有 f (x+4) =f (x) +f (2)成立,假设 f (-1) =-2, 那么 f (2021)等于()A. 2B . - 2C. - 1D. 20213、定义在 R 上的函数的图象关于点,.成中央 对称,且对任意的实数 x 都有 f(x)=-f r +3), f(- ["+2)1)=1, f(0)=-2,那么 f(1)+f...
