第一部分 函数图象中点的存在性问题 因动点产生的直角三角形问题 例 1 2012年广州市中考第24题 如图1 ，抛物线233384yxx 与x 轴交于A、 B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C． （ 1 ）求点A、 B 的坐标； （ 2 ）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （ 3 ）若直线l 过点E(4 , 0 )， M 为直线l 上的动点，当以A、 B、 M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式． 图 1 思路点拨 1 ．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个． 2 ．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB＝ 9 0 °的点M 有2 个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝ 9 0 °的点M 只有1 个． 3 ．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答 （ 1 ）由23333(4 )(2 )848yxxxx ， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A(－ 4 , 0 )、 B(2 , 0 )．对称轴是直线x ＝－1 ． （ 2 ） △ ACD 与△ACB 有公共的底边AC， 当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点 B、D 到直线AC 的距离相等． 过点B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC 的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G，与AC 交于点H． 由 BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以34DGCOBGAO． 所以3944DGBG，点D 的坐标为9(1,)4． 因为AC//BD， AG＝ BG，所以HG＝ DG． 而 D′H＝ DH，所以D′G＝ 3DG274．所以D′的坐标为27(1,)4． 图 2 图 3 （ 3）过点A、 B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2 个点M． 以 AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2 个点M；如果圆与直线l 相切，就只有1 个点M 了． 联结GM，那么GM⊥ l． 在 Rt△ EGM 中，GM＝ 3， GE＝ 5，所以EM＝ 4． 在 Rt△ EM1A 中，AE＝ 8，113tan4M AM EAAE，所以M1A＝ 6． 所以点M1 的坐标为(－ 4, 6)，过M1、 E 的直线l 为334yx ． 根据对称性，直线l 还可以是334yx ． 考点伸展 第（3）题中的直线l 恰好经过点C，因此可以过点C、 E 求直线l 的解析式． 在 Rt△ EGM 中，GM＝ 3， GE＝ 5，所以EM＝ 4． 在 Rt△ ECO 中，CO＝ 3， EO＝ 4，所以CE＝ ...
