2014年全国高中数学联赛试题及答案VIP专享VIP免费

1 2014 年全国高中数学联赛(B 卷) 一 试 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分，） 1. 函数xxxf3245)(的值域是 . 2. 已知函数xxaysin)3cos(2的最小值为3，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122 yx的右半支与直线100x围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{na是公差不为0 的等差数列，}{nb是等比数列，其中3522113,,1,3bababa，且存在常数,使得对每一个正整数n 都有nnbalog，则  . 5. 函数)1,0(23)(2aaaaxfxx 在区间]1,1[x上的最大值为 8，则它在这个区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三棱柱111CBAABC 的 9 条棱 长都相 等， P 是1CC 的中点， 二面角11BPAB, 则sin . 8. 方程2010zyx满足zyx的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分 56 分） 9. （16 分）已知函数)0()(23adcxbxaxxf，当10 x时，1)( xf，试求a 的最大值. 10.（20 分）已知抛物线xy62 上的两个动点1122(,)(,)A x yB xy和，其中21xx 且421 xx.线段 AB的垂直平分线与 x 轴交于点C ，求 ABC面积的最大值. 11.（20 分）证明：方程02523 xx恰有一个实数根 r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{na，使得 32152aaarrr. 解 答 1. ]3,3[ 提示：易知)(xf的定义域是 8,5，且)(xf在 8,5上是增函数，从而可知)(xf的值域为]3,3[. 2 2. 1223a 提示：令tx sin，则原函数化为taattg)3()(2，即 taattg)3()(3. 由3)3(3taat，0)1(3)1( 2ttat，0)3)1()(1(tatt 及01 t 知03)1(tat 即 3)( 2 tta. （1） 当1,0 t时（1）总成立； 对20,102ttt；对041,012ttt.从而可知 1223a. 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1(kky与双曲线右半支于kA ,交直线100x于kB，则线段kk BA内部的整点的个数为99k，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为 991(99)99 494851kk. 又x 轴上有98 个整点，所以所求整点的个...