数列的通项公式与求和112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)nnnnnnanSaaSnaaaaaaa数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4nnnnnnnnanSaaS nnSnSa数列的前 项和记为已知，证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.nnnnnanSSanNa aa已知数列的前 项为，求求证数列是等比数列11211{},,.2nnnnaaaaann已知数列满足求112{},,,.31nnnnnaaaaan已知数列满足求111511{},,( ).632nnnnnaaaaa已知数列中, 求111{}:1,{}.31nnnnnaaaaaa已知数列满足，求数列的通项公式练习 8 等比数列 {}na的前 n 项和 Sｎ＝2ｎ－１，则2232221naaaa练习 9 求和： 5，55，555，5555，⋯，5 (101)9n，⋯；练习 10 求和：1111447(32)(31)nn练习 11 求和：111112123123n练习12 设 {}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求 {}na， {}nb的通项公式； （Ⅱ）求数列nnab的前 n 项和nS ．答案练习 1 答案：练习 1 练习 2 练习 3 练习 4 练习 5 练习 6 练习 7 练习 2 证明：(1) 注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得：S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2 又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以 {S(n)/n} 是等比数列(2) 由(1)知，{S(n)/n} 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列。所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n 得a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于 N 且 n>1) 又当 n=1 时上式也成立所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于 N) 由(*) 式得：S(n+1)=(n+1)*2^n =(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n 练习 3 答案：1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2) 3Sn=an-1 3S(n-1)=a(n-1)-1 相减：3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2 所以 {an} 为等比数列！练习 4 累加法，答案：练习 5 累乘法，答案：练习 6 待定系数法，答案：练习 7 倒数法，答案：练习 8 公式法，答案：413n练习 9 答案：555555555nnS个5 (999999999)9n个235505[10 101010](101)9819nnnn．练习 10 ，列项相消法，答案31nn练习 11，,列项相消法1/(1+2+3+⋯⋯ +n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)]所以原式 =1+2/2*3+2/3*4+ ⋯⋯+2/[n(n+1)]=1+2*[(1/2-1/3)+(1/3- 1/4)+ ⋯⋯ +(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1) 练习 12（错位相减法）答案：解：（Ⅰ）设na的公差为 d ，nb的公比为 q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1 )2nandn，112nnnbq． （Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS，①3252321223222nnnnnS，②②－①得22122221222222nnnnS，221111212212222nnn1111212221212nnn12362nn．
