因式分解——十字相乘法

1 因式分解的一点补充——十字相乘法 关于 x2+（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为 1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到 x2+（p+q）x + pq=（x+p）(x+q). 练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18； 4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）； 2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）； 4．（x-2y）（x-3y）。 对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如 ax2+bx+c 的二次三项式因式分解。 例 1 把 2x2-7x+3 因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 2 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式 ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2 排列如下： a1 c1 3 a2 × c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2 之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例 2 把 6x2-7x-5 分解因式。 分析：按照例 1 的方法，分解二次项系数 6 及常数项-5，把它们分别排列，可有 8 种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3 × -5 2×（-5）+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。 解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。 指出：通过例 1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不...