用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为a＝(a1，b 1，c1)．平面 α ，β的法向量 u＝(a3， b3，c3)，v＝(a4，b 4， c4 ) (1) 线面平行： l∥α ? a⊥u? a·u ＝0 ? a1a3＋b 1b3＋c1c3＝0 (2) 线面垂直： l⊥α? a∥u? a＝ku? a1＝ka3，b 1＝kb 3，c1＝kc 3(3) 面面平行： α∥β? u∥v? u＝ kv? a3＝ka4，b 3＝kb 4，c3＝kc 4(4) 面面垂直： α⊥β? u⊥v? u·v＝0? a3a4＋b 3b 4＋c3c4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点， PA＝AB＝1，BC＝2. (1) 求证： EF∥平面 PAB；(2) 求证：平面PAD⊥平面 PDC. [证明 ] 以 A 为原点， AB，AD ，AP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0) ，B(1,0,0) ， C(1,2,0) ，D(0,2,0) ，P(0,0,1) ，所以E12，1 ，12 ，F 0，1，12 ， EFuuur＝ －12，0 ，0 ， PBuuur＝(1,0 ，－ 1) ， PDuuur＝(0,2 ，－ 1) ， APuuur＝(0,0,1) ，ADuuur＝(0,2,0) ， DCuuur＝(1,0,0) ， ABuuur＝(1,0,0) ．(1) 因为 EFuuur＝－12 ABuuur，所以 EFuuur∥ABuuur，即 EF∥AB. 又 AB? 平面 PAB，EF? 平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB. (2) 因为 APuuur·DCuuur＝(0,0,1) ·(1,0,0) ＝0 ， ADuuur· DCuuur＝ (0,2,0) ·(1,0,0) ＝ 0，所以 APuuur⊥ DCuuur， ADuuur⊥ DCuuur，即 AP⊥DC，AD⊥ DC. 又 AP∩AD ＝A，AP? 平面 PAD，AD ? 平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC? 平面PDC，所以平面 PAD⊥平面 PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行， 然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例 2、在直三棱柱ABC-A 1B1C1 中，∠ABC＝90 ° ，BC＝2 ，CC1＝4，点 E在线段 BB1 上，且 EB1＝1 ，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1 的中点．求证： (1)B1D⊥平面 ABD ；(2) 平面 EGF∥平面 ABD . 证明： (1)以 B 为坐标原点， BA、 BC、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B...
