数列极限部分较难习题

数列极限部分较难习题解答 1 数列极限部分书后较难的作业解答: 一.( （书293P）第 10 题)证明数列 1111223nxnn  有极限 证明:(一) 因为 11122(1)111nnxxnnnnnn    120111nnn  故 nx单减. (二) 由不等式 1111,12nnnnnnn   得121nnn  1,2,n  所以有   221232243212nxnnn  212022nn   . 故 nx有下界.因此根据单调有界原理知, nx有极限. 二.设常数0a ,nnxaaa个,证明:  nx收敛,且求limnnx. 解:(一)假设 nx收敛,并记lim.nnxA由已知得递推关系式: 1nnxax,令 n   ,利用1limlimnnnnxxA,得 AaA,即20,AAa解方程得 1142aA. 又因为0nx ,故取1142aA. 数列极限部分较难习题解答 2 即 114lim.2nnax (二)下面返证 nx收敛. 1.由12,,,xa xaa显然21xx0a .归纳地设1nnxx,则11,nnnnxaxaxx即 nx单增. 2.再证 nx有上界.B 那么如何取B 呢? 既然 nx单增且有极限1142aA,那么1142aA就应是 nx的一个上界.下面仍然用归纳法证明1142aA是 nx的上界. 事实上显然11142axa;设114,2nax则 11114211422nnaaaxaxa 422 144aa2114114 .42aa 故 nx单增且有上界,因此 nx收敛. 注意:这里 nx上界的找法似乎依赖于 nx的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若 nx为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了. 注意:同理可将上例推广到一般情形: 设10,xa1,0 ,2,3,,nnxbxbn则数列 nx收敛且 114lim.2nnbx 其中 (1)当12,xx即aba或1142ba时,114 .2nbx 数列极限部分较难习题解答 3 (2)当12,xx即aba或1142ba时,  nx单增,且 114 .2b为上界; (3)当12,xx即aba或1142ba时,  nx单减,且以0 或 114 .2b为下界; 有趣的是数列1nnxbx的极限与其初值10xa并无关系.这说明在一...