高中数学——函数的周期性

高中数学——函数的周期性(1)f(x+a)=-f(x)，则所以 2a是函数的一个，则 f(x+2a)-f[(x+a)+a]-，所以 2a是函数的一个周期(a丰°);匚，同理可得 2a是函高中数学——函数的周期性一、知识回顾].周期函数：对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x)，那么就称函数 y=f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.2. 最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.3•关于函数周期性常用的结论f(x+2a)—f[(x+a)+a]——f(x+a)—f(x)，周期(a’0)；⑵ 若满足 f站)—丄f(x)1—f(x)f(x+a)(3)若函数满足 f(X+a)—f(x)数的一个周期(a丰°).⑷ 如果 y=f(x)是 R上的周期函数，且一个周期为 T,那么 f(x 土 nT)=f(x)(neZ)-(5) 函数图像关于 x=a,x=b轴对称-T=2(a-b)-(6) 函数图像关于 a。)％)中心对称―T=2(a 一 b)-(7) 函数图像关于 x=a轴对称，关于@,0)中心对称=T=4(a-b)-二、方法规律技巧1・求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如 y=Asin(®x+w),用公式 T=岡计算•递推法：若 f(x+a)=—f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=—f(x+a)=f(x)，所以周期 T—2a•换元法：若 f(x+a)—f(x—a),令 x—a—t,x=t+a,则 f(t)—f(t+2a),所以周期 T—2a.2•判断函数的周期只需证明 f(x+T)—f(x)(T^0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.3. 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(keZ 且 k#)也是函数的周期.4•关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想.三、例题讲解：1、设定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x).f(x+2)=2012，右 f(1)=2，则 f(99)=•2、已知 f(x)是 R 上的奇函数，对 xWR 都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，若 f(-1)=-2,则 f(2013)等于()A•2B•一 2C•一 1D.20133、定义在 R 上的函数的图象关于点卜 3,可成中心对称，且对任意的实数 x 都有 f(x)=—f[x+3]，(—r2 丿1)=1，f(0)=—2,则 f(1)+f(2)+…+f(2013)=()A.0B.—2C.1D.—44、已知周期函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,且当一l