《高中数学竞赛》数列

1 竞赛辅导 数 列 (等 差 数 列 与等 比数 列 ) 数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的 问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n 项an 与项数(下标)n 之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，… n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。 等差数列{an}的通项公式为：)1()1(1dnaan 前 n项和公式为：)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn 从(1)式可以看出，na 是n的一次数函(0d)或常数函数(0d)，(nan,)排在一条直线上，由(2)式知，nS 是n的二次函数(0d)或一次函数(0,01 ad)，且常数项为0。在等差数列{na }中，等差中项： 221nnnaaa且任意两项nm aa ,的关系为：dmnaamn)(  它可以看作等差数列广义的通项公式。 2 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： nkaaaaaaaakknnn3,2,1,123121 若qpnmaaaaqpnmNqpnm:,,,,,*则有且 等等或等差数列,,,,1)12(,)12()1(232121knnkkkkkknnnmSSSSSSSanSanS 二、 等比数列 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。等比数列{ an} 的通项公式是： 11nnqaa 前 n项和公式是： 1,1qna nS 1,11)1(111qqqaaqqann 在等比数列中，等比中项： 21nnnaaa 且任意两项nm aa ,的关系为mnmnqaa 如果等比数列的公比 q满足 0＜ q＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： qaS 11 从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： 3 121121212321*123121)(,)(:,,:,,,,,,3,2,1,...