新三第3讲高斯求和

高斯求和德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3+ … + 98 + 99 + 100 =?“这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1 和 100，2 和 99，3 和 98，…），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。也就是说1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100相当于50 个 101 ，即5050。用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。事实上，像1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2等差数列的项数 =（末项 – 首项）÷ 公差 + 1首项 = 末项 – 公差×（项数 – 1）末项 = 首项 + 公差×（项数 – 1）有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。【例1】 计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10分析 在这个算式中，共有10 个数，将和为11 的两个数两两配对，可配成5 对（如图）。因此，求这10 个数的和可以看成是求5 个（1 + 10）的和。〖即学即练1〗 （1）计算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19《高斯求和》第 15 页（2）求50 以内所有偶数（包括50）的和。【例2】 建筑工地上堆着一些钢管（如左下图），这些钢管一共有多少根?分析 要求这些钢管有多少根，我们可以这样想：假设另外有同样多的钢管，像右上图那样与原来的钢管互相颠倒放置在一个槽内。这个槽内的钢管共有8 层，每层都有3 + 10 = 13（根），这样槽内的钢管总数就能求出。取它的一半，可知原来钢管的总数。〖即学即练2〗（1）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下，图中共有多少根电线杆?（2）有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第一层有1 块砖，第2 层有5 块砖，第3 层有 9 块砖，……一共有9 层。这堆砖一共有多少块?《高斯求和》第 16 页【例3】 ...