双曲线点差法

1 点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在双曲线12222 byax（a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M、N两点，点 ),(00 yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l 的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设 M、N两点的坐标分别为),(11 yx、 ),(22 yx，则有)2(.1)1(,1222222221221byaxbyax )2()1(，得.02222122221byyaxx .2212121212abxxyyxxyy 又.22,000021211212xyxyxxyyxxyykMN .2200abxykMN 同理可证，在双曲线12222 bxay（a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M、N两点，点),(00 yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l 的斜率为MNk，则2200baxykMN. 典题妙解 例 1 已知双曲线13:22 xyC，过点)1,2(P作直线l 交双曲线C 于A、B 两点. 2 （1）求弦AB 的中点M 的轨迹； （2）若P恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122ba焦点在y 轴上. 设点M 的坐标为),(yx，由22baxykAB得：3121xyxy， 整理得：.032322yxyx 所求的轨迹方程为.032322yxyx （2） P 恰为弦AB 的中点， 由2200baxykAB得：,3121 ABk即.32ABk 直线l 的方程为)2(321xy，即.0132 yx 例 2 已知双曲线22:22 yxC与点).2,1(P （1）斜率为k 且过点P的直线l 与 C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P的弦AB，使得 AB 的中点为P？ （3）试判断以)1,1(Q为中点的弦是否存在. 解：（1）直线l 的方程为)1(2xky，即.2kkxy 由.22,222yxkkxy得.064)2(2)2(2222kkxkkxk 直线l 与 C 有两个公共点， 得 .0)64)(2(4)2(4,0222222...