文科高等数学微积分的直接基础极限

精品文档---下载后可任意编辑§从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为 A1；再作内接正八边形, 它的面积记为 A2；再作内接正十六边形, 它的面积记为 A3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正 8×2n-1边形的面积记为 An. 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,×××,An,×××设想 n 无限增大（记为 n, 读作 n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时 An也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1,A2,A3,×××,An,×××当 n时的极限.数列的概念:假如根据某一法则, 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn, 则得到一列有次序的数x1,x2,x3,×××,xn,×××这一列有次序的数就叫做数列, 记为{xn}, 其中第 n 项 xn叫做数列的一般项.数列的例子: {nn+1 }:12 ,23 ,34 ,×××,nn+1 ; {2n: 2, 4, 8,×××, 2n,×××;{12n }:12 ,14 ,18 ,×××,12n ,×××;{(-1)n+1:1,-1,1,×××,(-1)n+1,×××;{n+(−1)n−1n}:2,12 ,43 ,×××,n+(−1)n−1n,×××.它们的一般项依次为nn+1 , 2n,12n ,(-1)n+1,n+(−1)n−1n.数列的几何意义:数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点 x1,x2,x3,×××,xn,×××.数列与函数:数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数:xn=f (n),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{xn}, 假如当 n 无限增大时, 数列的一般项 xn无限地接近于某一确定的数值 a, 则称常数 a 是数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛 a. 记为limn→∞xn=a. 假如数列没有极限, 就说数列是发散的.例如limn→∞nn+1=1,limn→∞12n=0,limn→∞n+(−1)n−1n=1;而{2n},{ (-1)n+1},是发散的.对无限接近的刻划:xn无限接近于 a 等价于|xn-a|无限接近于 0, 极限的精确定义:定义 假如数列{xn}与常 a 有下列关系:对于任意给定的正数不论它多么小,总存在正整数 N, 使得对于 n >N时的一切 xn, 不等式 |xn-a|<都成立,则称常数 a 是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于 a, 记为limn→∞xn=a或 xna (n).假如数列没有极限, 就说数列是发散的....