柯西不等式的应用整理篇

精品文档---下载后可任意编辑摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、讨论最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy）不等式： (a1b1+a2b2+⋯+anbn)2¿(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)(ai,bi∈R ,i=1,2⋯n)等号当且仅当a1=a2=⋯=an=0或bi=kai时成立（k 为常数，i=1,2⋯n） 现将它的证明介绍如下：方法 1 证明：构造二次函数f ( x)=(a1 x+b1)2+(a2 x+b2)2+⋯+(an x+bn)2 = 由构造知 恒成立 又 即 当且仅当 即时等号成立方法 2 证明:数学归纳法（1） 当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当时 右式 左式 故时 不等式成立 （2）假设时，不等式成立 即 当 bi=mai ，m 为常数，i=1,2⋯k 或时等号成立 设 A= B= 则 当 bi=mai ，m 为常数，i=1,2⋯k+1 或时等号成立 即 时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培育学生的创新能力，提高学生的数学素养。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型： 1、证明相关数学命题 （1）证明不等式例 1 已知正数满足 证明 证明：利用柯西不等式又因为 在此不等式两边同乘以 2，再加上得：故（2）三角形的相关问题例 2 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径， 证明 证明：由柯西不等式得：精品文档---下载后可任意编辑记为的面积，则故不等式成立。2、求解有关数学问题 常用于求最值 例 3 已知实数满足， 试求 的最值 解：由柯西不等式得，有 即由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 例 4 空间中一向量与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，，（，， 均非象限角）， 求1sin2 α+4sin2 β+9sin2 γ 的最小值。 解 : 由柯西不等式得： [(1sinα )2+(2sin β )2+(3sinγ )2](sin2α + sin2 β + sin2 γ )(1sinα ⋅sinα +2sin β⋅sin β+ 3sinγ ⋅sinγ )2⇒(1sin2 α)+(4sin2 β)+(9sin2 γ)](sin2α +sin2 β+sin2 γ )≥(1 + 2 + ...