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柯西不等式的应用整理篇

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精品文档---下载后可任意编辑摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优美,结构巧妙,也是证明命题、讨论最值问题的一个强有力的工具。关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西(Cauchy)不等式: (a1b1+a2b2+⋯+anbn)2¿(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)(ai,bi∈R ,i=1,2⋯n)等号当且仅当a1=a2=⋯=an=0或bi=kai时成立(k 为常数,i=1,2⋯n) 现将它的证明介绍如下:方法 1 证明:构造二次函数f ( x)=(a1 x+b1)2+(a2 x+b2)2+⋯+(an x+bn)2 = 由构造知 恒成立 又 即 当且仅当 即时等号成立方法 2 证明:数学归纳法(1) 当时 左式= 右式= 显然 左式=右式 当时 右式 左式 故时 不等式成立 (2)假设时,不等式成立 即 当 bi=mai ,m 为常数,i=1,2⋯k 或时等号成立 设 A= B= 则 当 bi=mai ,m 为常数,i=1,2⋯k+1 或时等号成立 即 时不等式成立综合(1)(2)可知不等式成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式,学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等,能进一步开阔学生的数学视野,培育学生的创新能力,提高学生的数学素养。灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,常通过适当配凑,直接套用柯西不等式解题,常见的有两大类型: 1、证明相关数学命题 (1)证明不等式例 1 已知正数满足 证明 证明:利用柯西不等式又因为 在此不等式两边同乘以 2,再加上得:故(2)三角形的相关问题例 2 设是内的一点,是到三边的距离,是外接圆的半径, 证明 证明:由柯西不等式得:精品文档---下载后可任意编辑记为的面积,则故不等式成立。2、求解有关数学问题 常用于求最值 例 3 已知实数满足, 试求 的最值 解:由柯西不等式得,有 即由条件可得, 解得,当且仅当 时等号成立, 代入时, 时 例 4 空间中一向量与 x 轴,y 轴,z 轴正向之夹角依次为,,(,, 均非象限角), 求1sin2 α+4sin2 β+9sin2 γ 的最小值。 解 : 由柯西不等式得: [(1sinα )2+(2sin β )2+(3sinγ )2](sin2α + sin2 β + sin2 γ )(1sinα ⋅sinα +2sin β⋅sin β+ 3sinγ ⋅sinγ )2⇒(1sin2 α)+(4sin2 β)+(9sin2 γ)](sin2α +sin2 β+sin2 γ )≥(1 + 2 + ...

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