实变函数题库

《实变函数》试题题库 一、计算题 1、设为无理数时当为有理数时当xxxxfx,,)(1 ，计算]1,0[)(dxxf。 2、设为无理数时当为有理数时当xexexfxx,,)(2 ，计算]1,0[)(dxxf 。 3、设为无理数时当为有理数时当xxxxxf,sin,cos)(，计算]1,0[)(dxxf 。 4、设0P 为 Cantor 集，时当时当002]1,0[,,)(PxxPxxxf ，计算]1,0[)(dxxf 。 5、设0P 为 Cantor 集，时当时当00]1,0[,,)(2PxePxexfxx ，计算]1,0[)(dxxf。 6、设0P 为 Cantor 集，时当时当00]1,0[,sin,cos)(PxxPxxxf ，计算]1,0[)(dxxf。 7、求1051sin)(lim22nxdxRxnnxn。 8、求10 1sin)(lim222/1nxdxRxnnxn。 9、求1021cos)(lim22nxdxRxnnxn。 10、求10 1cos)(lim223/2nxdxRxnnxn。 11、求1021)cos(sin)(lim242dxnxnxRxnxnn。 12、求10 1242/33)(limdxRxnxnn。 二、简答题 1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射. 2、构造(0, 1)到 R 的一一映射. 3、构造(0, 1)到 [0,  ] 的一一映射. 4、构造{能被 3 整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射. 5、构造(0,1)到(0, 1) (2, 3) 的一一映射. 6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射. 7、（请说明：在),0( E上的函数列nxxxfn)(，,2,1n，不测度收敛于xxf)( 8、请叙述 L 测度的可列可加性。 9、若)(xf在可测集 E 上可测，则Rc ，)(xcf在 E 上也可测。 10、请指出 L 可测集和F 集的关系。 11、用可测函数的定义说明狄里克雷函数CQxQxxD]1,0[,0]1,0[,1)(在[0, 1]可测。 12、从基数的角度请举出三种零测集的例子。 三、填空题 1、设 A 为一集合，B 是 A 的所有子集构成的集合；若 A =n, 则 B = 2、设 A 为一集合，B 是 A 的所有子集构成的集合；若 A 是一可数集, 则 B = 3、若cA , cB , 则 BA 4、若cA , B 是一可数集, 则 BA 5、若cA , nB , 则 BA 6、若}{nA是一集合列, 且cAn , nnA1 7、若IA}{是任意集族, 其中 I 是指标集, 则AI= 8、若IA}{是任意集族, 其中 I 是指标集, 则AI= 9、若IA}{是任意集族, 其中 I 是指标集, S 是一集合, 则)(ACIS=...