射影面积法求二面角

射影面积法（cosSS射影原） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD 中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1， AD= 21 .求面SCD 与面SAB 所成的角的大小。 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S△SCD 与S△SAB 即可， 故所求的二面角θ应满足 cos = =1 1 1212322 =63 。 例2．（2008 北京理）如图，在三棱锥PABC中， 2ACBC，90ACB， APBPAB，PCAC． （Ⅰ）求证：PCAB； （Ⅱ）求二面角BAPC的大小； A C B P 图1 S D C B A 解：（Ⅰ）证略 （Ⅱ）ACBC，APBP，APCBPC△≌△． 又PCAC，PCBC． 又90ACB，即ACBC，且ACPCC， BC 平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BECE，． ABBP，BEAP． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CEAP． ∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：2222CBACAPBPAB，622AEABBE，2 ECAE则1222121••CEAESSACE射， 3622121••EBAESSABE原 设二面角BAPC的大小为 ，则3331cos原射SS ∴二面角BAPC的大小为33arccos 练习1： 如图5，E 为正方体ABCD－A1B1C1D1 的 棱CC1 的中点，求平面AB1E 和底面A1B1C1D1 所成 锐角的余弦值. （答案：所求二面角的余弦值为cosθ= 32）. A C B E P A1 D1 B1 C1 E D B C A 图5 2 . 如图一，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形， PA  平面 ABCD ，2APAB,2 2BC , EF，分别是 ADPC，的中点. (1)证明： PC  平面 BEF ；（2）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 题（1）解略；题（2）中平面 BEF 与平面 BAP 夹角即为平面 BEF 与平面BAP 所成的锐二面角. 方法一：垂面法 在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角. 如图一：PA  平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ,PABC. 又,BCAB ABPAA,BC 平面 BAP . 又BC  平面 PBC ,平面 PBC  平面 BAP . 由题（1）， PC  平面 BEF ， PC 平面 BEF ，平面 PBC  平面 BEF . 所以PBF是所求二面角的平面角...