控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为 f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数 sinwt 由欧拉公式： 所以， 6．余弦函数 coswt 其它的可见表 2-1：拉氏变换对照表 F(s) f(t) 1 1(t) t 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数 k1，k2,函数 f1(t),f2(t),且 f1(t),f2(t)的拉氏变换为 F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若 f(t)的拉氏变换为 F(s),则对任一正实数 a 有, 其中，当 t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间 a. 证明：， 令 t-a=τ ,则有上式= 例：, 求其拉氏变换 (2)复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有 证： 例：求的拉氏变换 3、微分定理 设 f(t)的拉氏变换为F(s), 则 其中 f(0+)由正向使的f(t)值。 证： 同理可推广到 n阶： 当初始条件为0时，即 则有 4、积分定理 设 f(t)的拉氏变换为F(s),则 ，其中时的值。 证明： 同理可得 n阶积分的拉氏变换： 当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有 ] 5、初值定理 设 f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数 f(t)的初值定理表示为： 证明：由微分定理知： 对等式两边取极限： 则有 例：已知 ，求f(0+) 由初值定理知： 6、终值定理： 若 f(t)的拉氏变换为 F(s),则终值定理表示为： 证明：由微分定理知： 令，对上式两边取极限， 这个定...
