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2025年高等数学考研知识点总结

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第四讲 定积分与反常积分一、考试规定1. 理解(理解)定积分的概念。2. 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法,掌握(理解)定积分中值定理。3. 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4. 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式。5. 理解反常积分的概念,会计算反常积分。二、内容提要 1 定义 2 若 f(x)在[a,b]上持续,则存在,尤其 3 4 性质: (1) (2) (3) (4) 不等式性质 (5) 估值定理 , 则 (6) 积分中值定理:若 f(x)在[a,b]上持续,则,注:可在开区间(a,b)内取到. 一般地,f(x)在[a,b]上持续, g(x)在[a,b]上可积且不变号,则 5 定积分的计算 (1) 牛顿—莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法 6 反常积分 (1)无界区域上的反常积分:设是在 上的一种原函数,且均存在,则称收敛,且定义=;假如 中有一种不存在,则称发散。同样可定义 的收敛,发散,及其值。假如存在 使得和都收敛,则称收敛,且定义=+。(2)无界函数的反常积分:设在 上持续但无界,而是在 上的一种原函数,且存在,则称收敛,且定义=;假如 不存在,则称发散。假如在 上持续但无界,同样可定义 的收敛,发散,及其值设存在 使得在 和上均持续但无界,假如和都收敛,则称收敛,且定义=+。(3)几种重要的反常积分(i)若则 (ii)若则 (iii)若则, 0

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