摘要非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。十九世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公理、公设，产生了各种新的几何学，加上与非欧几何并行发展的射影几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等，这个时期的几何学出现了百花齐放的局面。由此，用统一的观点解释它们便成为数学家们的重要任务。克莱因以变换群的思想统一几何学，但该思想却未能包括所有的几何学领域。希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法，这种方法已经远远超出几何学的范围而和集合论思想成为现代数学统一化趋势的两大推手。关键词：几何学的统一；非欧几何；公理化方法TheWayofUnifyingGeometryinthe19thCenturyAbstractThenon-EuclidgeometryappearancehasbrokenthesituationoftheonlykindofgeometrythatisEuclideangeometryforalongtime.Afterthemiddleofthenineteenthcentury,bydenyingalljusticeandaxiomofEuclideangeometry,allsortsofnewgeometry,projectivegeometry,differentialgeometrywhichisparallelwithnon-Euclidgeometryandtopologywhichemergedlateremerged,inthisperiodgeometrypossessedinfiniteandwidedevelopmentprospects.Thus,usingunifiedviewtoexplaintheirwillbecomeanimportanttaskofmathematicians.Kleinunifiedgeometrybythethoughtofthetransformationgroup,butthethoughtfailedtoincludeallofthegeometry.Hilbertputforwardanotherwaytounifygeometrywhichinfluencedmodernmathematicsprofoundly.Themethodthatisaxiomaticmethodhasgonefarbeyondthescopeofthegeometry.Axiomaticmethodandsettheorythoughtbecametwobigpushunifiedtrendofmodernmathematics.Keyword:Theunityofthegeometry;Non-Euclidgeometry;Axiomaticmet十九世纪几何学统一两种途径张俊青18世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学等应用问题紧密交织在一起，开创了许多数学研究新领域，成为由近代数学向现代数学过渡的重要阶段。但这个时期的数学家将数学与天文和力学等同起来的反映论数学观也使数学渐渐走入了死胡同，数学内部积累的逻辑和现实的矛盾逐渐酝酿新的变革，并于19世纪初导致了数学研究的井喷式发展，几何、代数、分析各分支出现如雨后春笋般的竟相发展。这一时期的几何学经历了由欧氏到非欧、由综合到解析、由平直到弯曲、由具体到抽象的革命性进展，在非欧几何、射影几何、微分几何、拓扑学等领域做出开创性的成绩。这些进展使数学冲破了反映论、真理符合论的束缚，剥离了其同客观现实的关系，进而使其走下“真理的神坛”，逐渐转向抽象、可能的形式推理和计算的途径，表现出数学中的语言学转向。[1]不仅如此，除了各种非欧几何外，数学家们还开创了诸如非阿基米德几何、非勒让德几何、非黎曼几何等新的研究方向和分支，将二维、三维几何学推广到n维、无限维几何学，空间元素也不再局限为点，而可以是线、圆、曲面等。然而，几何学这种研究对象的扩展、研究手段的多样性以及层出不穷的研究成果也使其变得支离破碎，被分割成为许多几乎互不相干的分科，其中每一个分科几乎都是独立地发展着。[2]在这样的形势下，寻找不同几何学分支之间的内在联系，用统一的思想和观点来统摄它们，便成为数学家迫切要解决的问题。一、《爱尔兰根纲领》——变换群的观点统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1865—1871年间，在普吕克、凯莱等数学家的工作的影响下，克莱茵首先借用凯莱绝对形的概念，将几种非欧几何统一在射影几何下，沟通了非欧几何与射影几何的联系，使得在射影几何的框架内也能研究非欧几何。他把凯莱的绝对形二次曲面的性质具体化，当充当绝对形二次曲面是实椭球面，或实椭圆抛物面，或实双叶双曲面时，便得到罗巴切夫斯基非欧几何；而当绝对形二次曲面是虚的时，便得到狭义黎曼非欧几何（正的常曲率）；如果绝对形是球面虚圆，便得到通常的欧几里得几何。于是欧几里得几何、罗巴切夫斯基非欧几何和狭义黎曼非欧几何等几种度量几何都被统一于射影几何而成为其特例。在此背景下克莱因...
