第 16 讲 等腰、等边及直角三角形一、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形 要点拨与对应举例1. 等 腰三角形（1）性质① 等边对等角：两腰相等，底角相等，即 AB＝AC∠B＝∠C；② 三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重叠; ③ 对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线 AD 是对称轴.（2）判定① 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；② 等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC 是等腰三角形. （1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其他均成立. 如：如左图，已知 AD⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形 ABC 的一种内角为30° ， 则 此 外 两 个 角 的 度 数 为30° 、 120° 或 75° 、 75° .2. 等 边三角形（1）性质① 边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即 AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；② 对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定① 定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等（均为 60°）的三角形是等边三角形；③ 任一内角为 60°的等腰三角形是等边三角形.即若 AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC 是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一种特殊的角60°，因此当等边三角形出现高时，会结合直角三角形 30°角的性质，即 BD=1/2AB.例：△ABC中，∠ B=60° ， AB=AC ，BC=3 ，则△ABC 的周长为 9.知识点二 ：角平分线和垂直平分线3. 角 平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则 PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例 ： 如 图 ， △ ABC中 ，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于E ， CD=2 ，则AC=6.4. 垂 直平 分线 图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若 OP 垂直且平分 AB，则 PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质5. 直 角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的二分之一....
