2025年沪科版数学中考知识点梳理第6讲一元二次方程

第 6 讲 一元二次方程一、 知识清单梳理知识点一：一元二次方程及其解法 要点拨及对应举例1. 一 元 二次方程的有关概念(1)定义：只具有一种未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程是有关 x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1 .2.一元二次方 程 的解法（1）直接开平措施：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式为 x=（b2-4ac≥0）.(4)配措施：当一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配措施．解一元二次方程时，注意观测， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平措施和因式分解法，不能用这两种措施解时，再用公式法.例：把方程 x2+6x+3=0 变形为(x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6.知识点二 ：一元二次方程根的鉴别式及根与系数的关系3.根的鉴别式(1)当 Δ＝>0 时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当 Δ＝=0 时，原方程有两个相等的实数根．(3)当 Δ＝<0 时，原方程没有实数根．例：方程的鉴别式等于 8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的鉴别式等于－ 8 ，故该方程没有实数根.*4. 根 与 系数 的 关系（1）基本关系：若有关 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为 x1、x2,则 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题方略：已知一元二次方程，求有关方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为具有 x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根有关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.知识点三 ：一元二次方程的应用4.列一元二次 方 程解 应 用题（1）解题环节：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检查根与否故意义；⑥作答．运用一元二次方程处理实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检查根与否故意义.（2）应用模型：一元二次方程常常在增长率问题、面积问题等方面应用.① 平均增长率（减少率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a 表达基数，x 表达平...