中学数学竞赛讲义——平面向量(6 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。——中学数学竞赛讲义平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表达，线段的长度表达向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一种小写字母上面加箭头表达。书中用黑体表达向量，如 a. |a|表达向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不一样，模为 1 的向量称为单位向量。定义 2 方向相似或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一种非零向量平行和结合律。定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足互换律和结合律。定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得 a=f定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相似的两个单位向量 i, j 作为基底，任取一种向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y）叫做 c 坐标。定义 4 向量的数量积，若非零向量 a, b 的夹角为，则 a, b 的数量积记作 a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
，也称内积，其中|b|cos叫做 b 在 a 上的投影（注：投影也许为负值）。定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a//bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义 5 若点 P 是直线 P1P2上异于 p1，p2的一点，则存在唯一实数 λ，使，λ 叫 P 分所成的比，若 O 为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则定义 6 设 F 是坐标平面内的一种图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【证明】 由于|a|2·|b|2-|a·b|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |...
