专题二十七平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【热点题型】题型一平面向量的数量积例1、已知向量a，b，满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【提分秘籍】1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．两向量的夹角为锐角⇔cosθ>0且cosθ≠1.3．向量的投影是一个实数，其值可正，可负，可为零．【举一反三】已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是________．【热点题型】题型二数量积的性质及运算律例2、如图，在平面四边形ABCD中，若AB＝2，CD＝1，则(AC＋DB)·(AB＋CD)＝()A．－5B．0C．3D．5【提分秘籍】1．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|，而|cosθ|≤1.2．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.3．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．【热点题型】题型三平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()A.B．2C.D．4解析：|a－b|2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋9－2×1×3×＝13，故|a－b|＝.答案：A【提分秘籍】在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.【举一反三】若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【热点题型】题型四平面向量的夹角与模例4、(1)平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.B．2C．4D．10(2)(2013年高考江西卷)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．【提分秘籍】1．当a·b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．2．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)则|a|＝.【举一反三】已知a，b都是单位向量，且|a＋b|≥1，则a，b的夹角θ的取值范围是________．解析： |a＋b|≥1，∴(a＋b)2≥1，即a2＋b2＋2a·b≥1， a，b都是单位向量，∴1＋1＋2cosθ≥1，∴cosθ≥－， θ∈[0，π]，∴θ∈.答案：【热点题型】题型五数量积研究垂直问题及应用例5、(2013年高考江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．【提分秘籍】1．利用数量积研究垂直时注意给出的形式：(1)可用定义式a·b＝0⇔|a||b|cosθ＝0；(2)可用坐标式a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量表示为共同的基底向量，再利用数量积进行求解．【举一反三】已知锐角三角形ABC中的内角为A、B、C的对边分别为a、b、c，定义向量m＝(2sinB，)，n＝，且m⊥n.(1)求f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)如果b＝4，求△ABC面积的最大值．解析： m⊥n，∴m·n＝2sinBcosB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin＝0，∴2B＋＝kπ(k∈Z)，∴B＝－(k∈Z)， 0
