函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性1.单调性的定义一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数，区间我们称为函数的单调增区间；如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量值、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数，区间我们称为函数的单调减区间。2.单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有(ⅰ) ， 则 称为上 的 增 函 数 ， 特 别 当 且 仅 当 严 格 不 等 式成立时称为上的严格单调递增函数。(ⅱ) ， 则 称为上 的 减 函 数 ， 特 别 当 且 仅 当 严 格 不 等 式成立时称为上的严格单调递减函数。2.函数单调的充要条件★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：或★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：或3.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法4.复合函数的单调性的判定对 于 函 数和， 如 果 函 数在 区 间上 具 有 单 调 性 ， 当用心 爱心 专心时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，函数、的增减性与 (或)相同，、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①、的增减性不能确定；② 、为增函数，为减函数。6.奇偶函数的单调性奇函数在定义域内严格单调，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。3.函数奇偶性的判断(证明)(1)比较与的关系；(2)（）与的关系；(2) 与的关系4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：用心 爱心 专心(1)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：① 函数、也为奇函数；②、为偶函数；(2)当和具有相异的奇偶性时，那么：①、的奇偶性不能确定；②、、为奇函数。二、函数的对称性1.函数自对称（...