1.2.2 空间中的平行关系平行公理 从古希腊时代到公元 1800 年间，许多数学家都尝试根据欧几里德的其他公理去证明欧几里德平行公理，结果都归于失败，19 世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约等人都各自独立地认识到这种证明是不可能的，也就是说平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的平行公理替代欧几里德的平行公理而建立非欧几何学。罗巴切夫斯基于 1830 年前后，发表了关于非欧几何的理论，罗巴切夫斯基的平行公理是.在一平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线共面而不相交.，由此演绎出一系列全新的无矛盾的结论，在这种几何里，三角形内角和小于 180°，相似三角形不存在，等等。这样一来，欧几里德几何与罗巴切夫斯基几何就存在本质上的区别，欧氏几何只是罗氏几何的特殊情况。1854 年，德国数学家黎曼研究了自己的几何学，他拓广了空间概念，例如四维的黎曼空间，开创了几何学的一片更广阔的领域，这种几何称为黎曼几何学。在黎曼几何中，黎氏直线是封闭的（是球的大圆），一切直线都相交。黎氏平面上没有不相交的直线，黎氏三角线的内角和大于 180°，黎氏几何中没有平行线。罗氏几何学与欧氏几何的区别仅在于一条平行公理，而黎氏几何与欧氏几何的区别却大得多，不仅平行公理不同，其他公理亦不同。研习点 1 平行直线1. 平行直线的定义：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.3. 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行，此性质又叫做空间平行线的传递性.公理 4 的符号表述为：a//c，b//ca//b.本公理中说到的两条直线仍然是不重合的两条直线，否则，平行同一条直线的两条直线还可能重合，在使用这个公理时，一定要先有两条直线不重合，才能得到两条直线平行的结论.公理 4 反映了两条直线的位置关系.公理 4 主要用来证明两条直线平行，它是证明两直线平行的重要依据.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.已知：如图所示，∠BAC 和∠B1A1C1的边 AB//A1B1，AC//A1C1，且射线 AB 与 A1B1同向，射线 AC 与 A1C1同向，求证：∠BAC=∠B1A1C1。证明：对于∠BAC 和∠B1A1C1在同一个平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形。分别在∠BAC 的两边和的∠B1A1C1 两边上截取线段 AD=A1D1 和AE=A1E1. 因为，所以...
