§2.3 等差数列的前 n 项和(一)对点讲练一、有关等差数列前 n 项和的计算例 1 在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1和 n.解 由 得解方程组得或总结 在解决等差数列问题时，如已知 a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求二”型．►变式训练 1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，已知 S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前 n 项和，求 Tn.解 设等差数列{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋n(n－1)d， S7＝7，S15＝75，∴，即，解得，∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)， －＝，∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n(－2)＋×＝n2－n.二、等差数列前 n 项和性质的应用例 2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列{an}的前 3m 项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知＝，求的值．解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100 成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二 在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)＝＝＝.总结 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果．►变式训练 2 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An和 Bn，且＝，则使得为整数的正整数 n 的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 D解析 ＝＝＝＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.三、等差数列前 n 项和的实际应用例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有 2n＋＋5n＝70，整理得 n2＋13n－140＝0.解之得 n＝7，n＝－20(舍去)．第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟．(2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有 2n＋＋5n＝3×70，整理得 n2＋13n－420＝0.解之得 n＝15，n＝－28(舍去)．第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟．总结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前 n项...
