§2.3 等差数列的前 n 项和(一)对点讲练一、有关等差数列前 n 项和的计算例 1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1和 n.解 由 得解方程组得或总结 在解决等差数列问题时,如已知 a1,an,n,d,Sn中任意三个,可求其余两个,这种问题在数学上常称为“知三求二”型.►变式训练 1 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn为数列的前 n 项和,求 Tn.解 设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+n(n-1)d, S7=7,S15=75,∴,即,解得,∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1), -=,∴数列是等差数列,其首项为-2,公差为,∴Tn=n(-2)+×=n2-n.二、等差数列前 n 项和性质的应用例 2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列{an}的前 3m 项的和S3m;(2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,已知=,求的值.解 (1)方法一 在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.∴30,70,S3m-100 成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.方法二 在等差数列中,,,成等差数列,∴=+.即 S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.(2)===.总结 等差数列前 n 项和 Sn的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易,事半功倍的效果.►变式训练 2 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An和 Bn,且=,则使得为整数的正整数 n 的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析 =====7+,∴n=1,2,3,5,11.三、等差数列前 n 项和的实际应用例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意,有 2n++5n=70,整理得 n2+13n-140=0.解之得 n=7,n=-20(舍去).第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟.(2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意,有 2n++5n=3×70,整理得 n2+13n-420=0.解之得 n=15,n=-28(舍去).第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟.总结 建立等差数列的模型时,注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前 n项...