第 5 课时 二项式定理1．(a＋b)n＝ (n∈N)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 叫做二项式系数．式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tr＋1表示，即通项公式 Tr＋1＝ 是表示展开式的第 r＋1 项．2．二项式定理中，二项式系数的性质有：① 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：② 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即当 n 是偶数时，n+1 是奇数，展开式共有 n+1 项，中间一项，即：第 项的二项式系数最大，为 ；当 n 是奇数时，n+1 是偶数，展开式共有 n+1 项，中间两项，即第 项及每 项，它们的二项式系数最大，为 ③ 二项式系数的和等于—————————，即————————————④ 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和＝ 即 ⑤ 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：3．二项式定理主要有以下应用① 近似计算② 解决有关整除或求余数问题③ 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”）注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题④ 杨辉三角形例 1. (1) （06 湖南理 11）若(ax－1)5的展开式中 x3的系数是－80，则实数 a 的值是 ．(2) （06 湖北文 8）在的展开式中，x 的幂指数是整数的有 项．(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中 x2项的系数为 ．解：（1）－2 （2）5 项 （3）35变式训练 1：若多项式, 则( )A、9 B、10 C、－9 D、－10解：根据左边的系数为 1,易知，左边的系数为 0,右边的系数为,∴ 故选 D。 例 2. 已知 f(x)＝(1+x)m+(1+x)n，其中 m、n∈N 展开式中 x 的一次项系数为 11，问 m、n 为何值时，含 x3项的系数取得最小值？最小值是多少？ 典型例题基础过关由题意，则含 x3项的系数为＋，当 n＝5 或 6 时 x3系数取得最小值为 30变式训练 2：分已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中,则展开式中常数项是( )A、 －45i B、 45i C、 －45 D、45解析： 第三项,第五项的系数分别为,依据题意有：,整理得即解方程(n－10)(n＋5)＝0则只有 n=10 适合题意.由,当 时,有 r=8,故常数项为=45 故选 D例 3. 若求（）+（）+……+（）解：对于式子：令 x=0，便得到：=1令 x=1，得到=1又原式：（）+（）+……+（）=...
