§3 等 比 数 列第 1 课时 等比数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向 等比数列的判断［例 1］ 已知数列｛an｝的前 n 项和 Sn=2an+1,求证：｛an｝是等比数列，并求出通项公式
［分析］ 要证数列是等比数列，关键是看 an与 an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1 (n≥2),求得 an
［证明］ Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1
∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an
∴an+1=2an
①又 S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0
由①式可知，an≠0,∴由=2 知｛an｝是等比数列，an=-2n-1
［说明］ (1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明 an≠0 是非常重要的
证明中，也可以写出 Sn-1=2an-1+1,从而得到 an=2an-1,只能得到 n≥2 时，｛an｝是等比数列，得到 n≥2 时 ，an=-2n-1,再将 n=1 代入，验证 a1=-1 也满足通项公式的要求
（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：① 定义法=q(q 为常数且不为零) {an}为等比数列
② 等比中项法an+12=anan+2 (n∈N+且 an≠0) {an}为等比数列
③ 通项公式法an=a1qn-1 (a1≠0 且 q≠0) {an}为等比数列
变式应用 1 判断下列数列是否为等比数列
(1)1,3,32,…,3n-1,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)a1,a2,a3,…,an,…
［解析］ （1）此数列为等比数列，且公比为 3
(2)此数列不是等比数列
(3)当 a=0 时，数列为 0,0,0,…,是常数列，不是等比数列；当 a≠0 时，数列为 a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列且公比为 a
命题方向 等比数列的通项公
