§3 等 比 数 列第 1 课时 等比数列的概念及通项公式思路方法技巧命题方向 等比数列的判断［例 1］ 已知数列｛an｝的前 n 项和 Sn=2an+1,求证：｛an｝是等比数列，并求出通项公式.［分析］ 要证数列是等比数列，关键是看 an与 an-1之比是否为一个常数，由题设还须利用an=Sn-Sn-1 (n≥2),求得 an.［证明］ Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.∴Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.∴an+1=2an. ①又 S1=a1=2a1+1,∴a1=-1≠0.由①式可知，an≠0,∴由=2 知｛an｝是等比数列，an=-2n-1.［说明］ (1)本题证明，关键是用等比数列的定义，其中说明 an≠0 是非常重要的.证明中，也可以写出 Sn-1=2an-1+1,从而得到 an=2an-1,只能得到 n≥2 时，｛an｝是等比数列，得到 n≥2 时 ，an=-2n-1,再将 n=1 代入，验证 a1=-1 也满足通项公式的要求.（2）判断一个数列是否是等比数列的常用方法是：① 定义法=q(q 为常数且不为零) {an}为等比数列.② 等比中项法an+12=anan+2 (n∈N+且 an≠0) {an}为等比数列.③ 通项公式法an=a1qn-1 (a1≠0 且 q≠0) {an}为等比数列.变式应用 1 判断下列数列是否为等比数列.(1)1,3,32,…,3n-1,…;(2)-1,1,2,4,8,…;(3)a1,a2,a3,…,an,….［解析］ （1）此数列为等比数列，且公比为 3.(2)此数列不是等比数列.(3)当 a=0 时，数列为 0,0,0,…,是常数列，不是等比数列；当 a≠0 时，数列为 a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列且公比为 a.命题方向 等比数列的通项公式的应用［例 2］ 在等比数列｛an｝中，已知 a5-a1=15,a4-a2=6,求 an.［分析］ 本题可以列关于 a1,q 的方程组入手，解出 a1与 q,然后再求 an.［解析］ 设等比数列｛an｝的首项为 a1,公比为 q, a5-a1=a1q4-a1=15 ①因为a4-a2=a1q3-a1q=6 ②由得 q=或 q=2.用心 爱心 专心1当 q=时，a1=-16.当 q=2 时，a1=1,∴an=-16×（）n-1或 an=2n-1.［说明］ 首项和公比是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于首项和公比的方程组，求出首项和公比.变式应用 2 已知等比数列{an}中，a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求 n. a1q+a1q4=18 a1=32［解析］ 解法一：由题意得 ，解得 .a1q2+a1q5=9 q= ∴an=a1qn-1=32（）n-1=1,∴26-n=20,∴n=6.解法二： a3+a6=q(a2+a5),∴q=,又 a1q+a1q4=18,∴a1=32,∴an=a1qn-1=32×（）n-1=1,解...
