2012届高考数学一轮复习 9.13 立体几何的综合问题教案

9.13 立体几何的综合问题●知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.●点击双基1.若 Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 α 内，顶点 A 在 α 外，则△ABC 在 α 上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面 ABC⊥α 时，为一条线段，结合选择肢，知选 D.答案：D2.长方体 AC1的长、宽、高分别为 3、2、1，从 A 到 C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为 4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为 60°，则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析：先求出长方体的两条棱长为 2、2，设第三条棱长为 x，由 22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.解析：易知球的直径 2R=a.所以 R=a.所以 V=R3= a3.答案：a35.已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC 的面积是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sinA=.∴S=||||sinA=··= .答案：●典例剖析【例 1】 在直角坐标系 O—xyz 中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.1（1）求与的夹角 α 的大小；（2）设 n=（1，p，q），且 n⊥平面 SBC，求 n；（3）求 OA 与平面 SBC 的夹角；（4）求点 O 到平面 SBC 的距离；（5）求异面直线 SC 与 OB 间的距离.解：（1）如图，= －=（2，0，－1），= + =（1，1，0），则||==，||==.cosα=cos〈，〉===，α=arccos. n·=0，n·=0. =（2，0，－1），= －=（1，－1，0）， 2－q=0， p=1，1－p=0. q=2，（3）OA 与平面 SBC 所成的角 θ 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余，故可先求与 n 所成的角.=（0，1，0），||=1，|n|==.∴cos〈，n〉===，即〈，n〉=arccos.∴θ=－arccos.（4）点 O 到平面 SBC 的距离即为在 n 上的投影的绝对值，∴d=|·|== .（5）在异面直线 SC、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与 SC、OB 均垂直的向量 m.设 m=（x，y，1），m⊥且 m⊥，则 m·=0，且 m·=0. 2x－1=0， x=，x+y=0， y=－.∴m=（，－，1），d′=|...