9.13 立体几何的综合问题●知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折,空间向量的应用.●点击双基1.若 Rt△ABC 的斜边 BC 在平面 α 内,顶点 A 在 α 外,则△ABC 在 α 上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析:当平面 ABC⊥α 时,为一条线段,结合选择肢,知选 D.答案:D2.长方体 AC1的长、宽、高分别为 3、2、1,从 A 到 C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案:C3.设长方体的对角线长为 4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为 60°,则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析:先求出长方体的两条棱长为 2、2,设第三条棱长为 x,由 22+22+x2=42x=2,∴V=2×2×2=8.答案:B4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上,则这个球的体积是_____________.解析:易知球的直径 2R=a.所以 R=a.所以 V=R3= a3.答案:a35.已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),则△ABC 的面积是_____________.解析:=(1,1,1),=(2,1,3),cos〈,〉==,∴sinA=.∴S=||||sinA=··= .答案:●典例剖析【例 1】 在直角坐标系 O—xyz 中,=(0,1,0),=(1,0,0),=(2,0,0), =(0,0,1).1(1)求与的夹角 α 的大小;(2)设 n=(1,p,q),且 n⊥平面 SBC,求 n;(3)求 OA 与平面 SBC 的夹角;(4)求点 O 到平面 SBC 的距离;(5)求异面直线 SC 与 OB 间的距离.解:(1)如图,= -=(2,0,-1),= + =(1,1,0),则||==,||==.cosα=cos〈,〉===,α=arccos. n·=0,n·=0. =(2,0,-1),= -=(1,-1,0), 2-q=0, p=1,1-p=0. q=2,(3)OA 与平面 SBC 所成的角 θ 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余,故可先求与 n 所成的角.=(0,1,0),||=1,|n|==.∴cos〈,n〉===,即〈,n〉=arccos.∴θ=-arccos.(4)点 O 到平面 SBC 的距离即为在 n 上的投影的绝对值,∴d=|·|== .(5)在异面直线 SC、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离,故先求与 SC、OB 均垂直的向量 m.设 m=(x,y,1),m⊥且 m⊥,则 m·=0,且 m·=0. 2x-1=0, x=,x+y=0, y=-.∴m=(,-,1),d′=|...