“二项式定理（一）”教案一、教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。二、教学重、难点： 重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明三、教学过程： (一)新课引入： (提问)：若今天是星期一，再过 810 天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3 (提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法) (再提问)：(a+b)100 又怎么办？ (a+b)n(n∈N+)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n 的二项展开式的规律性 (二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a 2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n 的展开式的各项是齐次的，它们分别为 an, an-1b, an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 11810＝(7+1)10＝710+79+…+7+＝2(733＋c133732+…+c3233·7+2 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1（这表是我国宋代杨辉于 1261 年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）如何从组合知识得到(a+b)4 展开式中各项的系数 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取 b，只有一种取法得到 a4 即种(2)若只有一个括号取 b，共有种取法得到 a3b(3)若只有两个括号取 b，共有种取法得到 a2b2(4)若只有三个括号取 b，共有种取法得到 ab3(5)若每个括号都取 b，共有种取法得 b4 …………∴ (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。证明：(1)当 n=1 时，左边＝(a+b)1=a+b 右边＝a1+b1=a+b2∴ 等式成立 (2)假设 n=k 时，等式成立，即(a+b)k=ak+·ak-1b+…+ak-rbr+…·bk那么当 n=k+1 时(分散难点作法)以 (a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比(a+b)4(a+b)＝(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）由组合数性质知 ＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ...
