第 2 课时 空间向量的坐标运算设 a＝，b＝(1) a±b＝ (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．(4) a∥b ；ab ．(5) 设则＝ ， ．AB 的中点 M 的坐标为 ．例 1. 若＝(1,5,－1)， ＝(－2,3,5)（1）若(k+ )∥(－3 )，求实数 k 的值；（2）若(k+ )⊥(－3 )，求实数 k 的值；（3）若取得最小值，求实数 k 的值．解：(1)；(2)； (3)变式训练1. 已知为原点，向量∥，求．解：设， ∥，∴，，∴，即解此方程组，得。典型例题基础过关∴，。例 2. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点．(1) 求 BM 的长； (2) 求的值； (3) 求证：．解：以 C 为原点建立空间直角坐标系.(1) 依题意得 B（0，1，0），M（1，0，1）．.(2) 依题意得 A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）..(3) 证明：依题意得 C1（0，0，2），N. 变式训练2. 在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E 为 PD的中点．(1) 在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE⊥面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离； (2) 求(1) 中的点 N 到平面 PAC 的距离．解：(1) 建立空间直角坐标系 A－BDP，则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别是 A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依题设 N(x, 0, z)，xyzB1C1A1CBAMNABCPE D·则＝(－x, , 1－z)，由于 NE⊥平面 PAC，∴ 即，即点 N 的坐标为(, 0, 1)，从而 N 到 AB、AP 的距离分别为 1，.(2) 设 N 到平面 PAC 的距离为 d，则 d＝＝.例 3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点 E在上，且:＝2:1．(1) 证明 平面；(2) 求以 AC 为棱， 与为面的二面角的大小；(3) 在棱 PC 上是否存在一点 F，使∥平面？证明你的结论．解：（1）证明略；（2）易解得；（3）解 以 A 为坐标原点，直线分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直于平面 PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为所以，，，设点 F 是棱上的点，，其中，则．令得CDBAPE解得，即时，．亦即，F 是 PC 的中点时，共面，又平面，所以当 F 是 PC 的中点时，∥平面．例 4. 如图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.(1) 求和点 G 的坐标；(2) ...
