二、中档题专练(一)1.[2016·长春监测]已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-.(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f=,且sinB+sinC=,求△ABC的面积.解(1)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-=sin2x+cos2x=2sin,因此f(x)的最小正周期为T==π.f(x)的单调递减区间为2kπ≤+2x≤+2kπ+(k∈Z),即x∈(k∈Z).(2)由f=2sin=2sinA=,又A为锐角,所以A=.由正弦定理可得2R===,sinB+sinC==,则b+c=×=13,由余弦定理可知,cosA===,可求得bc=40,故S△ABC=bcsinA=10.2.[2016·开封一模]如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:AD⊥平面BCD;(2)求三棱锥C-ABD的高.解(1)证明: 平面ADC⊥平面ABC,且AC⊥BC,∴BC⊥平面ACD,即AD⊥BC,又AD⊥CD,∴AD⊥平面BCD.(2)由(1)得AD⊥BD,∴S△ADB=2, 三棱锥B-ACD的高BC=2,S△ACD=2,∴×2h=×2×2,∴可解得h=.3.[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株,求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率.解(1)由题意可知,样本容量n==50,y==0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,记这5株分别为a1,a2,a3,a4,a5,高度在[90,100]内的株数为2,记这2株分别为b1,b2.抽取2株的所有情况有21种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P=1-=.(二)1.[2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn,对任意正整数n,3an-2Sn=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:Sn+2Sn