9-8 用向量方法求角与距离(理)基础巩固强化1.(2012·云南省统考)在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E、F 分别是棱 AB、BC 的中点，则点 C1到平面 B1EF 的距离等于( )A. B.C. D.[答案] D[解析] 解法 1：设点 C1到平面 B1EF 的距离 h.如图，连结 EC1，FC1，由题意得|B1E|＝|B1F|＝＝，|EF|＝，等腰△B1EF 底边 EF 上的高为：h1＝＝，则 S△B1EF＝|EF|·h1＝，那么 VC1－B1EF＝S△B1EF·h＝h；又 VE－B1C1F＝S△B1C1F·|EB|＝×(×2×2)×1＝，且 VC1－B1EF＝VE－B1C1F，即＝h，得 h＝，选 D.解法 2：以 B1为原点分别以B1C1、B1A1、B1B的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B1(0,0,0)，C1(2,0,0)，E(0,1,2)，F(1,0,2)．设平面 B1EF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则∴∴x＝y＝－2z.令 z＝1 得 n＝(－2，－2,1)，又B1C1＝(2,0,0)，∴C1到平面 B1EF 的距离 h＝＝，故选 D.2．在直三棱柱 A1B1C1－ABC 中，∠BCA＝90°，点 D1、F1分别是 A1B1、A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则 BD1与 AF1所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.[答案] A[解析] 建立如图所示的坐标系，设 BC＝1，则 A(－1,0,0)，F1，B(0，－1,0)，D1－，－，1，1即AF1＝，BD1＝.∴cos〈AF1，BD1〉＝＝.3．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，则直线 BC1与平面 A1BD 所成的角的余弦值是( )A. B.C. D.[答案] C[解析] 如图，以 D 为坐标原点，直线 DA、DC、DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，BC1＝(－1,0,1)，设平面 A1BD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则∴∴令 x＝1 得，n＝(1，－1，－1)，设直线 BC1与平面 A1BD 所成角为 θ，则sinθ＝|cos〈BC1，n〉|＝＝＝，∴cosθ＝＝.4．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M、N 分别是棱 CD、CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是( )2A．30° B．45°C．60° D．90°[答案] D[解析] 解法 1：取 CN 的中点 H，连接 MH、A1H，则 MH＝DN.设正方体的棱长为 2，则 DN＝，MH＝，A1M2＝22＋22＋12＝9.从而 A1H2＝(2－)2＋22＋22＝ A1H2＝MH2＋A1M2，∴∠A1MH＝90°解法 2：以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则 D(0,0,0)，N(0,1，)，M(0，，0...
