43 三角形边和角关系的探索教材分析初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．任务分析这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．教学目标1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．教学设计一、问题情景1. A，B 两地相距 2558m，从 A，B 两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图 43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？12. 如图 43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆 BC 的长度．已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95m，AB 与水平的夹角为6°20′，AC 长为 1.40m，计算 BC 的长．（精确到 0.01m）问题：（1）图中涉及怎样的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型1. 教师引导学生分析讨论在问题情景（1）中，已知在△ABC 中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求 AC，BC 的长．组织学生讨论如何利用已知条件求出 AC，BC 的长度．（让学生思考，允...
