4.3 平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例 1】 已知a，b 夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)(a＋2b) ·(a＋b)；(3)a 与(a＋b)的夹角 θ.【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋4－2×4×2×＝12，所以|a＋b|＝2.(2)(a＋2b) ·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2＝16－3×4×2×＋2×4＝12.(3)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4×2×＝12.所以 cos θ＝||||)(baabaa＝＝，所以 θ＝.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练 1】已知向量 a，b，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且 c⊥a，则 a 与 b 的夹角大小是 .【解析】由 c⊥a⇒c·a＝0⇒a2＋a·b＝0，所以 cos θ＝－，所以 θ＝120°.题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在△ABC 中，AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值.【解析】①当∠A＝90°时，有 AB · AC ＝0，所以 2×1＋3·k＝0，所以 k＝－；② 当∠B＝90°时，有 AB · BC ＝0，又 BC ＝ AC － AB ＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以 2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝；③ 当∠C＝90°时，有 AC · BC ＝0，所以－1＋k·(k－3)＝0，所以 k2－3k－1＝0⇒k＝.所以 k 的取值为－，或.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨 论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练 2】△ABC 中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求 AB · BC ＋ BC ·CA ＋CA · AB .1【解析】因为 2 AB · BC ＋2 BC ·CA ＋2CA · AB＝( AB · BC ＋CA · AB )＋(CA · AB ＋ BC ·CA )＋( BC ·CA ＋ BC · AB )＝ AB ·( BC ＋CA )＋CA ·( AB ＋ BC )＋ BC ·(CA ＋ AB )＝ AB · BA＋CA · AC ＋ BC ·CB＝－42－62－52＝－77.所以 AB · BC ＋ BC ·CA ＋CA · AB ＝－.题型三 平面向量的数量积的综合问题【例 3】数轴 Ox，Oy 交于点 O，且∠xOy＝，构成一个平面斜坐标系，e1，e2 分别是与 Ox，Oy 同向的单位向量，设 P 为坐标平面内一点，且OP ＝xe1＋ye2，则点 P 的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2).(1)求|OQ |的值及OQ 与 Ox 的夹角；(2)过点 Q的直线 l⊥OQ，求 l 的直线方程(在斜坐标系中).【解析】(1)依题意知，...
