6.2 等差数列典例精析题型一 等差数列的判定与基本运算【例 1】已知数列{an}前 n 项和 Sn＝n2－9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式.【解析】(1)证明：n＝1 时，a1＝S1＝－8，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，当 n＝1 时，也适合该式，所以 an＝2n－10 (n∈N*).当 n≥2 时，an－an－1＝2，所以{an}为等差数列.(2)因为 n≤5 时，an≤0，n≥6 时，an＞0.所以当 n≤5 时，Tn＝－Sn＝9n－n2，当 n≥6 时，Tn＝＋＋…＋＋＋…＋＝－a1－a2－…－a 5＋a6＋a7＋…＋an＝Sn－2S5＝n2－9n－2×(－20)＝n2－9n＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.【变式训练 1】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S21＝42，若记 bn＝1391122aaa，则数列{bn}( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21＝21a1＋d＝42.所以 a1＋10d＝2，即 a11＝2.所以 bn＝1391122aaa＝22－(2a11)＝20＝1，即数列{bn}是非 0 常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为 C.题型二 公式的应用【例 2】设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出 S1，S2，…，S12 中哪一个值最大，并说明理由.【解析】(1)依题意，有S12＝12a1＋＞0，S13＝13a1＋＜0，即 ②① 06 011211dada由 a3＝12，得 a1＝12－2d.③ 将③分别代入①②式，得 03,0724dd所以－＜d＜－3.1(2)方法一：由 d＜0 可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在 1≤n≤12 中存在自然数 n，使得 an＞0，an＋1＜0，则 Sn 就是 S1，S2，…，S12 中的最大值.由于 S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即 a6＋a7＞0，a7＜0，因此 a6＞0，a7＜0，故在 S1，S2，…，S12 中，S6 的值最大.方法二：由 d＜0 可知 a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在 1≤n≤12 中存在自然数 n，使得 an＞0，an＋1＜0，则 Sn 就是 S1，S2，…，S12 中的最大值.故在 S1，S2，…，S12 中，S6 的值最大.【变式训...
