8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一 两直线的交点【例 1】若三条直线 l1：2x＋y－3＝ 0，l2：3x－y＋2＝0 和 l3：ax＋y＝0 不能构成三角形，求 a的值.【解析】① l3∥l1 时，－a＝－2⇒a＝2；②l3∥l2 时，－a＝3⇒a＝－3；③ 由 023,032yxyx⇒ ,1,1yx将(－1，－1)代入 ax＋y＝0⇒a＝－1.综上，a＝－1 或 a＝2 或 a＝－3 时，l1、l2、l3 不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练 1】已知两条直线 l1：a1x＋b1y＋1＝0 和 l2：a2x＋b2y＋1＝0 的交点为 P(2,3)，则过 A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是 .【解析】由 P(2,3)为 l1 和 l2 的交点得 ,0132,01322211baba故 A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程 2x＋3y＋1＝0，即直线 2x＋3y＋1＝0 必过 A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.题型二 两直线位置关系的判断【例 2】已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值.(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知可得 l2 的斜率存在，所以 k2＝1－a，若 k2＝0，则 1－a＝0，即 a＝1.因为 l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0，又 l1 过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，而 a＝1，b＝0 代入上式不成立，所以 k2≠0.因为 k2≠0，即 k1，k2 都存在，因为 k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以 k1k2＝－1，即(1－a)＝－1，又 l1 过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，联立上述两个方程可解得 a＝2，b＝2.(2)因为 l2 的斜率存在，又 l1∥l2，所以 k1＝k2，即＝(1－a)，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1∥l2，所以 l1，l2 在 y 轴的截距互为相反数，即＝b，联立上述方程解得 a＝2，b＝－2 或 a＝，b＝2，所以 a，b 的值分别为 2 和－2 或和 2.【点拨】运用直线的斜截式 y＝kx＋b 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点 P(0，p)是线段 AO 上的一点(异于端点)，1这里 a，b，c，p 均为非零实数，设直线 BP...
