基本不等式（二）——基本不等式与最大（小）值一、教学目标：1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。三、教学方法：启发引导式四、教学过程1．复习回顾（1）、写出均值不等式并阐述其证明过程。（2）、均值不等式成立的条件是什么？2．例题讲解：例 1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴y∈[，+∞） （2）当 x＞0 时，y＝x＋≥2＝2；当x＜0 时，y≤－2∴y∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例 2：当 x＞1 时，求函数 y＝x＋的最小值解：y＝（x－1）＋＋1（ x＞1）≥2＋1＝3∴函数的最小值是 3问题：x＞8 时？总结：一正二定三相等。介绍：函数 y＝x＋的图象及单调区间例 3：求下列函数的值域（1）y = （2）y = 解：（1）y＝＝(x＋1) ＋ ＋ 1当 x＋1＞0 时，y ≥2＋1 ；当 x＋1＜0 时，y ≤－2＋1即函数的值域为：（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞）1 （2）当x＋1≠0 时，令 t = 则问题变为：y = ，t∈（－∞，－2＋1]∪[2＋1，+∞） ∴y∈[，0）∪（0，]又 x＋1 = 0 时，y = 0即 y∈[－ ，]说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。例 4：求下列函数的最大值（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜）（2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜ ）学生练习，教师准对问题讲评。例 5：已知 x＋2y＝1，求 ＋的最小值。学生练习，教师准对问题讲评。例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3，深为 3m，如果池底每 1m2的造价为150 元，池壁每 1m2的造价为120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为 xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得l＝240000＋720（x＋）≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600当 x＝，即 x＝40 时，l 有最小值 297600因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600...
