六节 椭 圆 (二)基础自测 1．(2012·东北四校一模)已知方程＋＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )A. B．(1，＋∞)C．(1,2) D.解析：依题意，2k－1＞2－k＞0，解得 1＜k＜2.故选 C.答案：C2．(2013·湖南郴州模拟)设 e 是椭圆＋＝1 的离心率，且 e ∈，则实数 k 的取值范围是( )A．(0,3)B.C．(0,3)∪D．(0,2)解析：当 k>4 时，c＝，由条件知<<1，解得 k>；当 02，所以 m2＋n2<4.所以点 P(m，n)在椭圆＋＝1 内部．所以交点个数为 2 个．1答案：21．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.解析：因为 PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，所以 P F2＝2ctan 30°＝c，PF1＝c.又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，所以＝＝，即椭圆的离心率为.故选 D.答案：D2．(2013·安徽卷)设椭圆E：＋＝1 的焦点在 x 轴上．(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2)设 F1，F2分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴于点 Q，并且 F1P⊥F1Q.证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．(1)解析：因为焦距为 1，所以 2a2－1＝，解得 a2＝.故椭圆 E 的方程为＋＝1.(2)证明：设 P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c＝.由题设知 x0≠c，则直线 F1P 的斜率 kF1P＝.直线 F2P 的斜率 kF2P＝.故直线 F2P 的方程为 y＝(x－c)．当 x＝0 时，y＝，即点 Q 坐标为.因此，直线 F1Q 的斜率为 kF1Q＝.由于 F1P⊥F1Q，所以 kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得 y＝x－(2a2－1)．①将①代入椭圆 E 的方程，由于点 P(x0，y0)在第一象限．解得 x...
