第十二节 直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理一、直线与圆锥曲线的位置关系设直线 l 的方程为 g(x，y)＝0，圆锥曲线 C 的方程为 f(x，y)＝0，联立方程组 消去其中一个变量如 y，得到关于 x 的二次方程 t(x)＝0(一般为二次方程)，设其判别式为 Δ，则有1．相交：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 Δ>0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 Δ>0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； (3)Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 Δ>0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切；3．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．特别注意：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线－＝1 外一点 P(x0，y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①点 P在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②点 P 在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③点 P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④点 P 为原点时不存在这样的直线．(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．二、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质1．以过焦点的弦为直径的圆和准线相切．2．设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x 轴的交点，则∠AMF＝∠BMF.3．设 AB 为焦点弦，A，B 在准线上的射影分别为 A1 ，B1 ，若 P 为 A1 B1 的中点，则 PA⊥PB.4．若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线．三、弦长公式若直线 y＝kx＋b 与圆锥曲线相交于两点 A，B，且 x1，x2分别为 A，B 的横坐标...
