第四节 简单三角函数的恒等变换知识梳理一、将二倍角公式变形可得到的公式1．降幂公式：sin2α＝ _______ ___ ，cos2α＝_________，sin αcos α＝_________.2．升幂公式：1＋cos α＝____________， 1－cos α＝____________.答案：1. sin 2α 2.2cos2 2sin23．半角公式：sin＝± ，cos＝± ，tan＝± ＝＝.注意：等号后的正、负号由所在的象限决定．二、辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin，其中 sin φ＝，cos φ＝，即 tan φ＝.基础自 测1．已知 cos＝－，则 cos x＋cosx－＝( )A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：∵cos＝－，∴cos x＋sin x＝－，∴cos x＋cos＝cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝×＝－1.故选 C.答案：C2．函数 f(x)＝sin2x＋sin xcos x 在区间上的最大值是( )A．1 B. C. D．1＋答案：C3．(2013·无锡联考)已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos，则 sin 2α 等于________．解析：由 cos 2α＝cos 得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)，由 α 为锐角知 cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝，平方得 1－sin 2α＝.∴sin 2α＝.答案：4．已知 tan＝2，则的值为________．解析：由 tan＝＝2，得 tan x＝，tan 2x＝＝，故＝×＝.答案：1．(2012·辽宁卷)已知 sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则 tan α＝( )A．－1 B．－ C. D．1解析：(法一)∵sin α－cos α＝，∴sin＝.∴sin＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝.∴tan α＝－1.故 选 A.1能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆.(法二)∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝2，∴sin 2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)．∴2α＝.∴α＝.∴tan α＝－1.故选 A.答案：A2. (2013·天津卷)已知函数 f(x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin.所以，f(x)的最小正周期 T＝＝π.( 2)因为 f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又 f(0)＝－2，f＝2，f＝2 ，故函数 f(x)在区间上的最大值为 2，最小值为－2.1．若直线 x＝t 与函数 y＝sin 和 y＝cos 的图象分别交于 P，Q 两点，则|PQ|的最大值为( )A．2 B．1 C. D.解析：依题意有|PQ|＝sin－cos＝|sin 2t|≤.故选 D.答案：D2．若＝2 015，则＋tan 2θ＝________________.解析：＋tan 2θ＝＋tan 2θ＝＋tan 2θ＝＋＝＝＝2 015.答案：2 0152
