第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”“是l⊥α”的(C)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒“l⊥α”“；l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”“，所以l⊥a，l⊥b”“是l⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(A)A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，A四点共面．∴A1C⊂平面ACC1A1. M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(A)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(D)A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5．(2018·黑龙江哈尔滨六中期中)下列命题正确的个数是(B)①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共面．A．1B．2C．3D．4解析对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；对于②，如三棱柱的三条侧棱相互平行但不共面，故三条平行线可共面，也可不共面，所以②不正确；对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；对于④，由平面的性质可得满足条件的四条直线必共面，故④正确．综上，①④正确．故选B．6．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)解析方法一对于B项，如图所示连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选A．方法二对于A项，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行．故选A．二、填空题7．已知a，b为异面直线，直线c∥a，则直线c与b的位置关系是__相交或异面__.解析直线的位置关系有三种：相交、异面、平行．因为a，b为异面直线，c∥a，所以c与b不平行，故c与b可能相交或异面．8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．解析由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为____.解析如图，取BC的中点H，连接FH，AH，∴BE∥FH，∴∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝，HE＝，EG＝，∴HG＝＝，∴AH＝＝.由余弦定理知cos∠AFH＝＝＝.三、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．解析如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.又 A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即异面直线A1M与DN所成的夹角为90°.11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC...
