宁夏银川贺兰县第四中学 2013-2014 学年高中数学 数学归纳法教案2 新人教版选修 2-2问题 1：数学归纳法的基本思想？ 以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）问题 2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当 n 取第一个值 n0 结论正确；（2）递推归纳：假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当 n=k+1 时结论也正确。（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前 n 项和等问题。【探索研究】问题：用数学归纳法证明： (31) 71nn 能被 9 整除。法一：配凑递推假设：法二：计算 f(k+1)-f(k)，避免配凑。说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 ② 注意从“n=k 到 n=k+1”时项的变化。【例题评析】例 1：求证: 121(1)nnaa能被21aa整除（n∈N+）。例 2：数列{an}中，1nnaa ,a1=1 且211()2()10nnnnaaaa（1）求234,,aa a 的值；（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。1说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：）设数列{an}满足211nnnaana ，n∈N+, (1)当 a1=2 时，求234,,aa a ，并猜想{an}的一个通项公式； （2）当 a1≥3 时，证明对所有的 n≥1,有 ①an≥n+2 ②1211111112naaa例 3：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这 n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 n2+n+2 个部分。例 4：设函数 f(x)是满足不等式122loglog (3 2)21kxxk,(k∈N+)的自然数 x 的个数；（１）求 f(x)的解析式；（２）记 Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求 Sn 的解析式；（３）令Ｐ n=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓ n 与Ｐ n 的大小。【课堂小结】1.猜归法是发现与论证的完美结合数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明。2.两个注意： （1）是否用了归纳假设？ （2）从 n=k 到 n=k+1 时关注项的变化？【反馈练习】1 观察下列式子 http://www.ks5u.c...
