江苏省东台中学2013届高三数学一轮复习 专题一 第五讲 导数及其应用教案

专题一 第五讲 导数及其应用一、利用导数研究曲线的切线例 1.已知函数( )f x 在 R 上满足2( )2 (2)88f xfxxx，则曲线( )yf x在点(1,(1))f处的切线方程是 .解析：由2( )2 (2)88f xfxxx得：2(2)2 ( )(2)8(2)8fxf xxx即22 ( )(2)44f xfxxx，∴2( )f xx∴/( )2fxx，∴切线方程12(1)yx，即210xy .例 2. 已知曲线，过原点的直线 与曲线相切，求直线 的方程. 答案：或注意：“在点 A 处的切线”与“过点 A 的切线”的区别二、利用导数研究函数的单调性例 3.（2010·山东）已知函数1( )ln1()af xxaxaRx（1）当1a 时，求曲线( )yf x在点(2,(2))f处的切线方程；（2）当12a 时，讨论( )f x 的单调性.解：（1） 当1 ( )af x时，),,0(,12lnxxxx 222xxfxx 因此， 21f  ,又,22ln)2(f所以曲线( )2(2)) (ln 22)2, yf xfyx 在点（ ，处的切线方程为 ln 20. xy即（2）因为11ln)(xaaxxxf,所以211)('xaaxxf221xaxax ),0( x,令,1)(2axaxxg),,0( x① 当0a  时，( )1,0,,g xxx所以用心 爱心 专心1当0,1x时，  g x >0，此时 0fx，函数 f x 单调递减；当1,x 时，  g x <0，此时 0fx，函数 f x 单调递增.② 当0a  时，由 0fx ，即210axxa  ，解得1211,1xxa.当12a 时， 12xx ，  0g x  恒成立，此时 0fx ，函数 f x 在（0，+∞）上单调递减;当102a时， 11 10a  ，0,1x时，  0g x ,此时 0fx,函数 f x 单调递减11,1xa时，  g x <0,此时 0fx,函数 f x 单调递增11,xa时，  0g x ，此时 0fx，函数 f x 单调递减当0a 时，由于 110a ,0,1x时，  0g x ,此时 0fx,函数 f x 单调递减；1,x 时，  g x <0,此时 0fx,函数 f x 单调递增.综上所述当0a  时， f x 在0,1 上单调递减;函数 f x 在1,...