第 3 讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1.考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属 B 级要求.2.考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属 B 级要求．热点一 二阶矩阵与平面变换例 1 已知矩阵 A＝所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1：＋＝1，求曲线 C 的方程．解 设曲线 C 上任一点为(x，y)，经过变换 T 变成(x0，y0)，则 ＝，即 x0＝x，y0＝y.由＋＝1，得曲线 C 的方程为 x2＋4y2＝4.思维升华 解决这类问题一般是设变换 T：→，求出原曲线在 T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练 1 已知曲线 C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵 A＝对应的变换，再作矩阵 B＝对应的变换，得到曲线 C2：＋y2＝1，求实数 b 的值．解 从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为 BA＝ ＝.在曲线 C1 上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有 ＝，即＝.故解得代入曲线 C1方程得，y′2＋2＝1.即曲线 C2方程为 2x2＋y2＝1.与已知的曲线 C2的方程＋y2＝1 比较得(2b)2＝4.所以 b＝±1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法例 2 已知点 P(3,1)在矩阵 A＝变换下得到点 P′(5，－1)．试求矩阵 A 和它的逆矩阵 A－1.解 依题意得 ＝＝，所以解得所以 A＝.因为 det(A)＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以 A－1＝.思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练 2 二阶矩阵 M 对应的变换 TM将曲线 x2＋x－y＋1＝0 变为曲线 2y2－x＋2＝0，求 M－1.解 设曲线 2y2－x＋2＝0 上一点 P(x，y)在 M－1对应变化下变成 P(x′，y′)，设 M－1＝，所以代入 x2＋x－y＋1＝0 得，方程(ax＋by)2＋(ax＋by)－(cx＋dy)＋1＝0，即 b2y2＋(a－c)x＋(b－d)y＋2abxy＋a2x2＋1＝0，与方程 y2－＋1＝0 比较得，a＝0，b＝1，c＝，d＝1 或 a＝0，b＝－1，c＝，d＝－1.所以 M－1＝或 M－1＝.热点三 特征值与特征向量例 3 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝8 及对应的一个特征向量 e1＝，并且矩阵 M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵 M；(2)求矩阵 M 的另一个特征值．解 (1)设 M＝，M＝8＝，M＝＝，则解得即 M＝.(2)令特征多项式 f(λ...
