第 3 讲 矩阵与变换、坐标系与参数方程[考情考向分析] 1
考查常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法，属 B 级要求
考查直线、曲线的极坐标方程、参数方程，参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标的互化，属 B 级要求．热点一 二阶矩阵与平面变换例 1 已知矩阵 A＝所对应的变换 T 把曲线 C 变成曲线 C1：＋＝1，求曲线 C 的方程．解 设曲线 C 上任一点为(x，y)，经过变换 T 变成(x0，y0)，则 ＝，即 x0＝x，y0＝y
由＋＝1，得曲线 C 的方程为 x2＋4y2＝4
思维升华 解决这类问题一般是设变换 T：→，求出原曲线在 T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．跟踪演练 1 已知曲线 C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵 A＝对应的变换，再作矩阵 B＝对应的变换，得到曲线 C2：＋y2＝1，求实数 b 的值．解 从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为 BA＝ ＝
在曲线 C1 上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有 ＝，即＝
故解得代入曲线 C1方程得，y′2＋2＝1
即曲线 C2方程为 2x2＋y2＝1
与已知的曲线 C2的方程＋y2＝1 比较得(2b)2＝4
所以 b＝±1
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法例 2 已知点 P(3,1)在矩阵 A＝变换下得到点 P′(5，－1)．试求矩阵 A 和它的逆矩阵 A－1
解 依题意得 ＝＝，所以解得所以 A＝
因为 det(A)＝＝1×(－1)－0×2＝－1，所以 A－1＝
思维升华 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序．跟踪演练 2 二阶矩阵 M 对应的变换 TM将曲线 x2＋x－y＋1＝0 变为曲线 2y2－x＋2＝0，求 M
