一道高考题的探索08 年浙江卷（理科）17 题 若 ，且当 时，恒有 则以 为坐标的点 所形成的平面区域的面积等于＿＿＿＿析题： 本题知识点：线性规划问题、恒成立问题、区域面积问题 思想方法：化归与转化、分类与整合、数形结合 难点：三类问题的结合，学生很难把握，见得少，而且联系难 此题主要考查学生思维的灵活性、多样性，以及综合运用知识分析、解决问题的能力。 此题主要从两方面:一是将不等式恒成立问题转化成函数的最值问题；二是将区域面积转化成字母取值范围问题。解题的切入点是紧扣已知条件 ，落脚点是确定 a,b 的取值范围。解法探究解法 1 目标函数法设目标函数 ，当 时， 故只需 当 则 由 的约束条件作出可行域（如图），若 则 在 A 点取得最大值， 若 则 在 B 点取得最大值，若 ，则 综上 故所求区域面积 S=1根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法。但本题的目标函数含有两个参数 a,b，需要分类讨论确定函数最值，有一定的难度。解法 2 解析法如上图，画出点 的可行域，因为 恒成立，即用心 爱心 专心101 BA101 BA1 0,x 0,y 1xy 01,a 01,b 在可行域中恒成立，则 否则可行域中总存在不满足题意的点。故 点 所形成的平面区域为边长 1 的正方形，其面积 S=1 解析法是处理线性规划问题最常用、有效的方法，在坐标轴上两个截距 的构造，将可行域与恒成立问题统一起来，从而使问题得以解决，截距的构造是解题的关键。解法 3 三角换元法设 当 时， 当 时，所以 即点 P（a,b）所形成的平面区域为边长 1 的正方形，其面积 S=1.此题的难点也在于变量太多，通过三角换元，可以减少变量，降低题目的难度。同时借助三角函数的有界性，可以确定点 P 所形成的平面区域。解法 4 向量法设向量 则 （ 为两向量的夹角），当向量 在 上的投影 最大时，取最大值。由 的约束条件作出可行域（如图）。若 当点 N 为可行域的点 B 时， 最大，此时若 当点 N 为可行域的点 A 时， 最大，此时若 综上 故所求区域面积 S=1.此题在没有向量存在的的情境下，很难将 看作是两向量的数量积，这是创新意识诱导下的一种很独特的数学视角。向量法充分运用向量数量积的代数与几何用心 爱心 专心201,a 01,b 01,a 01,b 01,a 01,b 01 BA1MN01 BA1MN特征，借助向量数...
